Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30860 / 16919
↖ ↑ ↗
← N 65.314123°
W 10.480957°		 ← 255.09 m → N 65.314123°
W 10.475464°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
N 65.311829°
W 10.480957°		 ← 255.11 m →
65 075 m²		 N 65.311829°
W 10.475464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470893859863281 y=0.258171081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470893859863281 × 216)
    floor (0.470893859863281 × 65536)
    floor (30860.5)     		tx = 30860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258171081542969 × 216)
    floor (0.258171081542969 × 65536)
    floor (16919.5)     		ty = 16919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30860 / 16919 ti = "16/30860/16919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30860/16919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30860 ÷ 216
    30860 ÷ 65536     		x = 0.47088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16919 ÷ 216
    16919 ÷ 65536     		y = 0.258163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18292721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258163452148438 × 2 - 1) × π
    0.483673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51950384415654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18292721} λ = -0.18292721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51950384415654))-π/2
    2×atan(4.56995722157467)-π/2
    2×1.35537141526625-π/2
    2.7107428305325-1.57079632675     		φ = 1.13994650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18292721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13994650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.314123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30860 KachelY 16919 -0.18292721 1.13994650 -10.480957 65.314123
    Oben rechts KachelX + 1 30861 KachelY 16919 -0.18283134 1.13994650 -10.475464 65.314123
    Unten links KachelX 30860 KachelY + 1 16920 -0.18292721 1.13990646 -10.480957 65.311829
    Unten rechts KachelX + 1 30861 KachelY + 1 16920 -0.18283134 1.13990646 -10.475464 65.311829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13994650-1.13990646) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13994650-1.13990646) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18292721--0.18283134) × cos(1.13994650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417643115252747 × 6371000     		do = 255.091307021073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18292721--0.18283134) × cos(1.13990646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417679495708541 × 6371000     		du = 255.113527758539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13994650)-sin(1.13990646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417643115252747-0.417679495708541)×R²
    abs(-0.18283134--0.18292721)×3.63804557937941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63804557937941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63804557937941e-05×40589641000000     		ar = 65075.310356153m²