Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3086 / 5045
↖ ↑ ↗
← S 38.444984°
W 44.384766°		 ← 3 827.13 m → S 38.444984°
W 44.340820°		 →
↑
3 826.23 m
↓
↑
3 826.23 m
↓
S 38.479395°
W 44.384766°		 ← 3 825.30 m →
14 639 988 m²		 S 38.479395°
W 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37677001953125 y=0.61590576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37677001953125 × 213)
    floor (0.37677001953125 × 8192)
    floor (3086.5)     		tx = 3086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61590576171875 × 213)
    floor (0.61590576171875 × 8192)
    floor (5045.5)     		ty = 5045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3086 / 5045 ti = "13/3086/5045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3086/5045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3086 ÷ 213
    3086 ÷ 8192     		x = 0.376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5045 ÷ 213
    5045 ÷ 8192     		y = 0.6158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.727873883830933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77466030} λ = -0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727873883830933))-π/2
    2×atan(0.482934674561849)-π/2
    2×0.449902381730118-π/2
    0.899804763460236-1.57079632675     		φ = -0.67099156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67099156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.444984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3086 KachelY 5045 -0.77466030 -0.67099156 -44.384766 -38.444984
    Oben rechts KachelX + 1 3087 KachelY 5045 -0.77389331 -0.67099156 -44.340820 -38.444984
    Unten links KachelX 3086 KachelY + 1 5046 -0.77466030 -0.67159213 -44.384766 -38.479395
    Unten rechts KachelX + 1 3087 KachelY + 1 5046 -0.77389331 -0.67159213 -44.340820 -38.479395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67099156--0.67159213) × R
    0.000600569999999911 × 6371000     		dl = 3826.23146999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67099156--0.67159213) × R
    0.000600569999999911 × 6371000     		dr = 3826.23146999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77466030--0.77389331) × cos(-0.67099156) × R
    0.000766990000000023 × 0.783205535793179 × 6371000     		do = 3827.12859534434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77466030--0.77389331) × cos(-0.67159213) × R
    0.000766990000000023 × 0.782831982433096 × 6371000     		du = 3825.30322935684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67099156)-sin(-0.67159213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783205535793179-0.782831982433096)×R²
    abs(-0.77389331--0.77466030)×0.000373553360082268×R²
    0.000766990000000023×0.000373553360082268×6371000²
    0.000766990000000023×0.000373553360082268×40589641000000     		ar = 14639988.1748799m²