Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30859 / 20358
↖ ↑ ↗
← N 56.151669°
W 10.486450°		 ← 340.21 m → N 56.151669°
W 10.480957°		 →
↑
340.21 m
↓
↑
340.21 m
↓
N 56.148610°
W 10.486450°		 ← 340.23 m →
115 747 m²		 N 56.148610°
W 10.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470878601074219 y=0.310646057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470878601074219 × 216)
    floor (0.470878601074219 × 65536)
    floor (30859.5)     		tx = 30859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310646057128906 × 216)
    floor (0.310646057128906 × 65536)
    floor (20358.5)     		ty = 20358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30859 / 20358 ti = "16/30859/20358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30859/20358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30859 ÷ 216
    30859 ÷ 65536     		x = 0.470870971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20358 ÷ 216
    20358 ÷ 65536     		y = 0.310638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470870971679688 × 2 - 1) × π
    -0.058258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18302308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310638427734375 × 2 - 1) × π
    0.37872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18979384856979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18302308} λ = -0.18302308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18979384856979))-π/2
    2×atan(3.28640364073408)-π/2
    2×1.27541391856317-π/2
    2.55082783712634-1.57079632675     		φ = 0.98003151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18302308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98003151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.151669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30859 KachelY 20358 -0.18302308 0.98003151 -10.486450 56.151669
    Oben rechts KachelX + 1 30860 KachelY 20358 -0.18292721 0.98003151 -10.480957 56.151669
    Unten links KachelX 30859 KachelY + 1 20359 -0.18302308 0.97997811 -10.486450 56.148610
    Unten rechts KachelX + 1 30860 KachelY + 1 20359 -0.18292721 0.97997811 -10.480957 56.148610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98003151-0.97997811) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dl = 340.21139999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98003151-0.97997811) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dr = 340.21139999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18302308--0.18292721) × cos(0.98003151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556996377517549 × 6371000     		do = 340.206575322015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18302308--0.18292721) × cos(0.97997811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557040726220201 × 6371000     		du = 340.23366296721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98003151)-sin(0.97997811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556996377517549-0.557040726220201)×R²
    abs(-0.18292721--0.18302308)×4.43487026519085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43487026519085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43487026519085e-05×40589641000000     		ar = 115746.763069819m²