Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30858 / 20362
↖ ↑ ↗
← N 56.139429°
W 10.491944°		 ← 340.35 m → N 56.139429°
W 10.486450°		 →
↑
340.34 m
↓
↑
340.34 m
↓
N 56.136368°
W 10.491944°		 ← 340.38 m →
115 839 m²		 N 56.136368°
W 10.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470863342285156 y=0.310707092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470863342285156 × 216)
    floor (0.470863342285156 × 65536)
    floor (30858.5)     		tx = 30858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310707092285156 × 216)
    floor (0.310707092285156 × 65536)
    floor (20362.5)     		ty = 20362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30858 / 20362 ti = "16/30858/20362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30858/20362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30858 ÷ 216
    30858 ÷ 65536     		x = 0.470855712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20362 ÷ 216
    20362 ÷ 65536     		y = 0.310699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.05828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18311896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310699462890625 × 2 - 1) × π
    0.37860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18941035337283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18311896} λ = -0.18311896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18941035337283))-π/2
    2×atan(3.28514356235503)-π/2
    2×1.27530709883622-π/2
    2.55061419767245-1.57079632675     		φ = 0.97981787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18311896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.491944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97981787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.139429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30858 KachelY 20362 -0.18311896 0.97981787 -10.491944 56.139429
    Oben rechts KachelX + 1 30859 KachelY 20362 -0.18302308 0.97981787 -10.486450 56.139429
    Unten links KachelX 30858 KachelY + 1 20363 -0.18311896 0.97976445 -10.491944 56.136368
    Unten rechts KachelX + 1 30859 KachelY + 1 20363 -0.18302308 0.97976445 -10.486450 56.136368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97981787-0.97976445) × R
    5.34199999999707e-05 × 6371000     		dl = 340.338819999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97981787-0.97976445) × R
    5.34199999999707e-05 × 6371000     		dr = 340.338819999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18311896--0.18302308) × cos(0.97981787) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.557173796012878 × 6371000     		do = 340.350437911658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18311896--0.18302308) × cos(0.97976445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.557218154967163 × 6371000     		du = 340.377534644535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97981787)-sin(0.97976445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557173796012878-0.557218154967163)×R²
    abs(-0.18302308--0.18311896)×4.43589542857836e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43589542857836e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43589542857836e-05×40589641000000     		ar = 115839.077487591m²