Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30857 / 20341
↖ ↑ ↗
← N 56.203649°
W 10.497437°		 ← 339.75 m → N 56.203649°
W 10.491944°		 →
↑
339.77 m
↓
↑
339.77 m
↓
N 56.200593°
W 10.497437°		 ← 339.77 m →
115 439 m²		 N 56.200593°
W 10.491944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470848083496094 y=0.310386657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470848083496094 × 216)
    floor (0.470848083496094 × 65536)
    floor (30857.5)     		tx = 30857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310386657714844 × 216)
    floor (0.310386657714844 × 65536)
    floor (20341.5)     		ty = 20341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30857 / 20341 ti = "16/30857/20341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30857/20341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30857 ÷ 216
    30857 ÷ 65536     		x = 0.470840454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20341 ÷ 216
    20341 ÷ 65536     		y = 0.310379028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470840454101562 × 2 - 1) × π
    -0.058319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18321483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310379028320312 × 2 - 1) × π
    0.379241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19142370315688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18321483} λ = -0.18321483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19142370315688))-π/2
    2×atan(3.29176436819936)-π/2
    2×1.27586752297816-π/2
    2.55173504595633-1.57079632675     		φ = 0.98093872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18321483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.497437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98093872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.203649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30857 KachelY 20341 -0.18321483 0.98093872 -10.497437 56.203649
    Oben rechts KachelX + 1 30858 KachelY 20341 -0.18311896 0.98093872 -10.491944 56.203649
    Unten links KachelX 30857 KachelY + 1 20342 -0.18321483 0.98088539 -10.497437 56.200593
    Unten rechts KachelX + 1 30858 KachelY + 1 20342 -0.18311896 0.98088539 -10.491944 56.200593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98093872-0.98088539) × R
    5.33300000000736e-05 × 6371000     		dl = 339.765430000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98093872-0.98088539) × R
    5.33300000000736e-05 × 6371000     		dr = 339.765430000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18321483--0.18311896) × cos(0.98093872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556242696966296 × 6371000     		do = 339.746236458823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18321483--0.18311896) × cos(0.98088539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556287014466152 × 6371000     		du = 339.773305045731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98093872)-sin(0.98088539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556242696966296-0.556287014466152)×R²
    abs(-0.18311896--0.18321483)×4.43174998552287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43174998552287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43174998552287e-05×40589641000000     		ar = 115438.624633655m²