Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30856 / 39048
↖ ↑ ↗
← S 32.583849°
W 10.502929°		 ← 514.65 m → S 32.583849°
W 10.497437°		 →
↑
514.71 m
↓
↑
514.71 m
↓
S 32.588478°
W 10.502929°		 ← 514.63 m →
264 891 m²		 S 32.588478°
W 10.497437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470832824707031 y=0.595832824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470832824707031 × 216)
    floor (0.470832824707031 × 65536)
    floor (30856.5)     		tx = 30856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595832824707031 × 216)
    floor (0.595832824707031 × 65536)
    floor (39048.5)     		ty = 39048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30856 / 39048 ti = "16/30856/39048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30856/39048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30856 ÷ 216
    30856 ÷ 65536     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39048 ÷ 216
    39048 ÷ 65536     		y = 0.5958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.602087459227905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602087459227905))-π/2
    2×atan(0.547667209067827)-π/2
    2×0.501050436551477-π/2
    1.00210087310295-1.57079632675     		φ = -0.56869545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56869545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.583849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30856 KachelY 39048 -0.18331070 -0.56869545 -10.502929 -32.583849
    Oben rechts KachelX + 1 30857 KachelY 39048 -0.18321483 -0.56869545 -10.497437 -32.583849
    Unten links KachelX 30856 KachelY + 1 39049 -0.18331070 -0.56877624 -10.502929 -32.588478
    Unten rechts KachelX + 1 30857 KachelY + 1 39049 -0.18321483 -0.56877624 -10.497437 -32.588478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56869545--0.56877624) × R
    8.07900000000528e-05 × 6371000     		dl = 514.713090000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56869545--0.56877624) × R
    8.07900000000528e-05 × 6371000     		dr = 514.713090000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18321483) × cos(-0.56869545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842604235556986 × 6371000     		do = 514.652362028395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18321483) × cos(-0.56877624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842560724702851 × 6371000     		du = 514.625786130827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56869545)-sin(-0.56877624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842604235556986-0.842560724702851)×R²
    abs(-0.18321483--0.18331070)×4.35108541345652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35108541345652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35108541345652e-05×40589641000000     		ar = 264891.468198328m²