Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30856 / 20360
↖ ↑ ↗
← N 56.145550°
W 10.502929°		 ← 340.26 m → N 56.145550°
W 10.497437°		 →
↑
340.28 m
↓
↑
340.28 m
↓
N 56.142489°
W 10.502929°		 ← 340.29 m →
115 787 m²		 N 56.142489°
W 10.497437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470832824707031 y=0.310676574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470832824707031 × 216)
    floor (0.470832824707031 × 65536)
    floor (30856.5)     		tx = 30856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310676574707031 × 216)
    floor (0.310676574707031 × 65536)
    floor (20360.5)     		ty = 20360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30856 / 20360 ti = "16/30856/20360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30856/20360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30856 ÷ 216
    30856 ÷ 65536     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20360 ÷ 216
    20360 ÷ 65536     		y = 0.3106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3106689453125 × 2 - 1) × π
    0.378662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18960210097131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18960210097131))-π/2
    2×atan(3.2857735411403)-π/2
    2×1.27536051295213-π/2
    2.55072102590426-1.57079632675     		φ = 0.97992470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97992470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.145550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30856 KachelY 20360 -0.18331070 0.97992470 -10.502929 56.145550
    Oben rechts KachelX + 1 30857 KachelY 20360 -0.18321483 0.97992470 -10.497437 56.145550
    Unten links KachelX 30856 KachelY + 1 20361 -0.18331070 0.97987129 -10.502929 56.142489
    Unten rechts KachelX + 1 30857 KachelY + 1 20361 -0.18321483 0.97987129 -10.497437 56.142489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97992470-0.97987129) × R
    5.34100000000315e-05 × 6371000     		dl = 340.275110000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97992470-0.97987129) × R
    5.34100000000315e-05 × 6371000     		dr = 340.275110000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18321483) × cos(0.97992470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557085081638972 × 6371000     		do = 340.260754714528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18321483) × cos(0.97987129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557129435468587 × 6371000     		du = 340.28784549121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97992470)-sin(0.97987129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557085081638972-0.557129435468587)×R²
    abs(-0.18321483--0.18331070)×4.43538296146517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43538296146517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43538296146517e-05×40589641000000     		ar = 115786.874925131m²