Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30852 / 20356
↖ ↑ ↗
← N 56.157788°
W 10.524902°		 ← 340.15 m → N 56.157788°
W 10.519409°		 →
↑
340.15 m
↓
↑
340.15 m
↓
N 56.154729°
W 10.524902°		 ← 340.18 m →
115 707 m²		 N 56.154729°
W 10.519409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470771789550781 y=0.310615539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470771789550781 × 216)
    floor (0.470771789550781 × 65536)
    floor (30852.5)     		tx = 30852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310615539550781 × 216)
    floor (0.310615539550781 × 65536)
    floor (20356.5)     		ty = 20356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30852 / 20356 ti = "16/30852/20356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30852/20356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30852 ÷ 216
    30852 ÷ 65536     		x = 0.47076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20356 ÷ 216
    20356 ÷ 65536     		y = 0.31060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.0584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18369420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31060791015625 × 2 - 1) × π
    0.3787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18998559616827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18369420} λ = -0.18369420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18998559616827))-π/2
    2×atan(3.28703386115952)-π/2
    2×1.27546731567008-π/2
    2.55093463134016-1.57079632675     		φ = 0.98013830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18369420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.524902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98013830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.157788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30852 KachelY 20356 -0.18369420 0.98013830 -10.524902 56.157788
    Oben rechts KachelX + 1 30853 KachelY 20356 -0.18359833 0.98013830 -10.519409 56.157788
    Unten links KachelX 30852 KachelY + 1 20357 -0.18369420 0.98008491 -10.524902 56.154729
    Unten rechts KachelX + 1 30853 KachelY + 1 20357 -0.18359833 0.98008491 -10.519409 56.154729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98013830-0.98008491) × R
    5.3390000000042e-05 × 6371000     		dl = 340.147690000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98013830-0.98008491) × R
    5.3390000000042e-05 × 6371000     		dr = 340.147690000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18369420--0.18359833) × cos(0.98013830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55690768365319 × 6371000     		do = 340.15240219439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18369420--0.18359833) × cos(0.98008491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556952027226589 × 6371000     		du = 340.1794867067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98013830)-sin(0.98008491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55690768365319-0.556952027226589)×R²
    abs(-0.18359833--0.18369420)×4.43435733987751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43435733987751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43435733987751e-05×40589641000000     		ar = 115706.660249431m²