Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30852 / 17020
↖ ↑ ↗
← N 65.081390°
W 10.524902°		 ← 257.34 m → N 65.081390°
W 10.519409°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
N 65.079075°
W 10.524902°		 ← 257.37 m →
66 240 m²		 N 65.079075°
W 10.519409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470771789550781 y=0.259712219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470771789550781 × 216)
    floor (0.470771789550781 × 65536)
    floor (30852.5)     		tx = 30852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259712219238281 × 216)
    floor (0.259712219238281 × 65536)
    floor (17020.5)     		ty = 17020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30852 / 17020 ti = "16/30852/17020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30852/17020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30852 ÷ 216
    30852 ÷ 65536     		x = 0.47076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17020 ÷ 216
    17020 ÷ 65536     		y = 0.25970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.0584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18369420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25970458984375 × 2 - 1) × π
    0.4805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50982059043329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18369420} λ = -0.18369420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50982059043329))-π/2
    2×atan(4.52591872835221)-π/2
    2×1.35334042717347-π/2
    2.70668085434693-1.57079632675     		φ = 1.13588453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18369420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.524902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13588453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.081390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30852 KachelY 17020 -0.18369420 1.13588453 -10.524902 65.081390
    Oben rechts KachelX + 1 30853 KachelY 17020 -0.18359833 1.13588453 -10.519409 65.081390
    Unten links KachelX 30852 KachelY + 1 17021 -0.18369420 1.13584413 -10.524902 65.079075
    Unten rechts KachelX + 1 30853 KachelY + 1 17021 -0.18359833 1.13584413 -10.519409 65.079075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13588453-1.13584413) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dl = 257.388400000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13588453-1.13584413) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dr = 257.388400000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18369420--0.18359833) × cos(1.13588453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421330410883163 × 6371000     		do = 257.343462096505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18369420--0.18359833) × cos(1.13584413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421367049590538 × 6371000     		du = 257.365840570879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13588453)-sin(1.13584413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421330410883163-0.421367049590538)×R²
    abs(-0.18359833--0.18369420)×3.66387073749697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66387073749697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66387073749697e-05×40589641000000     		ar = 66240.101948147m²