Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30851 / 38411
↖ ↑ ↗
← S 29.587789°
W 10.530395°		 ← 531.14 m → S 29.587789°
W 10.524902°		 →
↑
531.15 m
↓
↑
531.15 m
↓
S 29.592565°
W 10.530395°		 ← 531.12 m →
282 109 m²		 S 29.592565°
W 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470756530761719 y=0.586112976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470756530761719 × 216)
    floor (0.470756530761719 × 65536)
    floor (30851.5)     		tx = 30851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586112976074219 × 216)
    floor (0.586112976074219 × 65536)
    floor (38411.5)     		ty = 38411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30851 / 38411 ti = "16/30851/38411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30851/38411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30851 ÷ 216
    30851 ÷ 65536     		x = 0.470748901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38411 ÷ 216
    38411 ÷ 65536     		y = 0.586105346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470748901367188 × 2 - 1) × π
    -0.058502197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18379007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586105346679688 × 2 - 1) × π
    -0.172210693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.541015849111954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18379007} λ = -0.18379007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541015849111954))-π/2
    2×atan(0.582156568660892)-π/2
    2×0.527195998154337-π/2
    1.05439199630867-1.57079632675     		φ = -0.51640433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18379007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.530395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51640433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.587789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30851 KachelY 38411 -0.18379007 -0.51640433 -10.530395 -29.587789
    Oben rechts KachelX + 1 30852 KachelY 38411 -0.18369420 -0.51640433 -10.524902 -29.587789
    Unten links KachelX 30851 KachelY + 1 38412 -0.18379007 -0.51648770 -10.530395 -29.592565
    Unten rechts KachelX + 1 30852 KachelY + 1 38412 -0.18369420 -0.51648770 -10.524902 -29.592565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51640433--0.51648770) × R
    8.3370000000027e-05 × 6371000     		dl = 531.150270000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51640433--0.51648770) × R
    8.3370000000027e-05 × 6371000     		dr = 531.150270000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18379007--0.18369420) × cos(-0.51640433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869600182890268 × 6371000     		do = 531.141156499127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18379007--0.18369420) × cos(-0.51648770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869559015385378 × 6371000     		du = 531.116011890619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51640433)-sin(-0.51648770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869600182890268-0.869559015385378)×R²
    abs(-0.18369420--0.18379007)×4.11675048898053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11675048898053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11675048898053e-05×40589641000000     		ar = 282109.091063282m²