Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30850 / 38421
↖ ↑ ↗
← S 29.635546°
W 10.535889°		 ← 530.94 m → S 29.635546°
W 10.530395°		 →
↑
530.90 m
↓
↑
530.90 m
↓
S 29.640320°
W 10.535889°		 ← 530.92 m →
281 870 m²		 S 29.640320°
W 10.530395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470741271972656 y=0.586265563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470741271972656 × 216)
    floor (0.470741271972656 × 65536)
    floor (30850.5)     		tx = 30850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586265563964844 × 216)
    floor (0.586265563964844 × 65536)
    floor (38421.5)     		ty = 38421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30850 / 38421 ti = "16/30850/38421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30850/38421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30850 ÷ 216
    30850 ÷ 65536     		x = 0.470733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38421 ÷ 216
    38421 ÷ 65536     		y = 0.586257934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18388595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586257934570312 × 2 - 1) × π
    -0.172515869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.541974587104355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18388595} λ = -0.18388595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541974587104355))-π/2
    2×atan(0.581598700508419)-π/2
    2×0.526779237487482-π/2
    1.05355847497496-1.57079632675     		φ = -0.51723785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18388595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51723785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.635546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30850 KachelY 38421 -0.18388595 -0.51723785 -10.535889 -29.635546
    Oben rechts KachelX + 1 30851 KachelY 38421 -0.18379007 -0.51723785 -10.530395 -29.635546
    Unten links KachelX 30850 KachelY + 1 38422 -0.18388595 -0.51732118 -10.535889 -29.640320
    Unten rechts KachelX + 1 30851 KachelY + 1 38422 -0.18379007 -0.51732118 -10.530395 -29.640320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51723785--0.51732118) × R
    8.33300000000481e-05 × 6371000     		dl = 530.895430000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51723785--0.51732118) × R
    8.33300000000481e-05 × 6371000     		dr = 530.895430000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18388595--0.18379007) × cos(-0.51723785) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869188324905976 × 6371000     		do = 530.944974667496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18388595--0.18379007) × cos(-0.51732118) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869147116769964 × 6371000     		du = 530.919802616625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51723785)-sin(-0.51732118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869188324905976-0.869147116769964)×R²
    abs(-0.18379007--0.18388595)×4.12081360118277e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.12081360118277e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.12081360118277e-05×40589641000000     		ar = 281869.578932203m²