Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30850 / 38416
↖ ↑ ↗
← S 29.611670°
W 10.535889°		 ← 531.07 m → S 29.611670°
W 10.530395°		 →
↑
531.02 m
↓
↑
531.02 m
↓
S 29.616446°
W 10.535889°		 ← 531.05 m →
282 004 m²		 S 29.616446°
W 10.530395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470741271972656 y=0.586189270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470741271972656 × 216)
    floor (0.470741271972656 × 65536)
    floor (30850.5)     		tx = 30850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586189270019531 × 216)
    floor (0.586189270019531 × 65536)
    floor (38416.5)     		ty = 38416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30850 / 38416 ti = "16/30850/38416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30850/38416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30850 ÷ 216
    30850 ÷ 65536     		x = 0.470733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38416 ÷ 216
    38416 ÷ 65536     		y = 0.586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18388595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.541495218108154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18388595} λ = -0.18388595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541495218108154))-π/2
    2×atan(0.581877567728483)-π/2
    2×0.526987593141875-π/2
    1.05397518628375-1.57079632675     		φ = -0.51682114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18388595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51682114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.611670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30850 KachelY 38416 -0.18388595 -0.51682114 -10.535889 -29.611670
    Oben rechts KachelX + 1 30851 KachelY 38416 -0.18379007 -0.51682114 -10.530395 -29.611670
    Unten links KachelX 30850 KachelY + 1 38417 -0.18388595 -0.51690449 -10.535889 -29.616446
    Unten rechts KachelX + 1 30851 KachelY + 1 38417 -0.18379007 -0.51690449 -10.530395 -29.616446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51682114--0.51690449) × R
    8.33500000000376e-05 × 6371000     		dl = 531.022850000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51682114--0.51690449) × R
    8.33500000000376e-05 × 6371000     		dr = 531.022850000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18388595--0.18379007) × cos(-0.51682114) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869394304694246 × 6371000     		do = 531.07079772601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18388595--0.18379007) × cos(-0.51690449) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869353116859349 × 6371000     		du = 531.045638076105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51682114)-sin(-0.51690449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869394304694246-0.869353116859349)×R²
    abs(-0.18379007--0.18388595)×4.11878348969275e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.11878348969275e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.11878348969275e-05×40589641000000     		ar = 282004.04854913m²