Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30849 / 20204
↖ ↑ ↗
← N 56.619976°
W 10.541382°		 ← 336.05 m → N 56.619976°
W 10.535889°		 →
↑
336.07 m
↓
↑
336.07 m
↓
N 56.616954°
W 10.541382°		 ← 336.08 m →
112 941 m²		 N 56.616954°
W 10.535889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470726013183594 y=0.308296203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470726013183594 × 216)
    floor (0.470726013183594 × 65536)
    floor (30849.5)     		tx = 30849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308296203613281 × 216)
    floor (0.308296203613281 × 65536)
    floor (20204.5)     		ty = 20204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30849 / 20204 ti = "16/30849/20204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30849/20204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30849 ÷ 216
    30849 ÷ 65536     		x = 0.470718383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20204 ÷ 216
    20204 ÷ 65536     		y = 0.30828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470718383789062 × 2 - 1) × π
    -0.058563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18398182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30828857421875 × 2 - 1) × π
    0.3834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20455841365277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18398182} λ = -0.18398182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20455841365277))-π/2
    2×atan(3.33528593609818)-π/2
    2×1.27950066979966-π/2
    2.55900133959932-1.57079632675     		φ = 0.98820501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18398182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.541382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98820501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.619976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30849 KachelY 20204 -0.18398182 0.98820501 -10.541382 56.619976
    Oben rechts KachelX + 1 30850 KachelY 20204 -0.18388595 0.98820501 -10.535889 56.619976
    Unten links KachelX 30849 KachelY + 1 20205 -0.18398182 0.98815226 -10.541382 56.616954
    Unten rechts KachelX + 1 30850 KachelY + 1 20205 -0.18388595 0.98815226 -10.535889 56.616954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98820501-0.98815226) × R
    5.27500000000458e-05 × 6371000     		dl = 336.070250000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98820501-0.98815226) × R
    5.27500000000458e-05 × 6371000     		dr = 336.070250000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18398182--0.18388595) × cos(0.98820501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550189634110927 × 6371000     		do = 336.049099695722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18398182--0.18388595) × cos(0.98815226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550233681691696 × 6371000     		du = 336.076003419354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98820501)-sin(0.98815226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550189634110927-0.550233681691696)×R²
    abs(-0.18388595--0.18398182)×4.40475807688134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40475807688134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40475807688134e-05×40589641000000     		ar = 112940.625743859m²