Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30848 / 6528
↖ ↑ ↗
← N 72.816073°
E158.906250°		 ← 360.92 m → N 72.816073°
E158.917236°		 →
↑
360.92 m
↓
↑
360.92 m
↓
N 72.812828°
E158.906250°		 ← 360.99 m →
130 275 m²		 N 72.812828°
E158.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941421508789062 y=0.199234008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941421508789062 × 215)
    floor (0.941421508789062 × 32768)
    floor (30848.5)     		tx = 30848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199234008789062 × 215)
    floor (0.199234008789062 × 32768)
    floor (6528.5)     		ty = 6528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30848 / 6528 ti = "15/30848/6528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30848/6528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30848 ÷ 215
    30848 ÷ 32768     		x = 0.94140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6528 ÷ 215
    6528 ÷ 32768     		y = 0.19921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94140625 × 2 - 1) × π
    0.8828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77343726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19921875 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77343726} λ = 2.77343726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88986433062109))-π/2
    2×atan(6.61847069632126)-π/2
    2×1.42083828077337-π/2
    2.84167656154673-1.57079632675     		φ = 1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77343726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30848 KachelY 6528 2.77343726 1.27088023 158.906250 72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 30849 KachelY 6528 2.77362901 1.27088023 158.917236 72.816073
    Unten links KachelX 30848 KachelY + 1 6529 2.77343726 1.27082358 158.906250 72.812828
    Unten rechts KachelX + 1 30849 KachelY + 1 6529 2.77362901 1.27082358 158.917236 72.812828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27088023-1.27082358) × R
    5.66499999998804e-05 × 6371000     		dl = 360.917149999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27088023-1.27082358) × R
    5.66499999998804e-05 × 6371000     		dr = 360.917149999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77343726-2.77362901) × cos(1.27088023) × R
    0.000191749999999935 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 360.921160891535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77343726-2.77362901) × cos(1.27082358) × R
    0.000191749999999935 × 0.295494170570315 × 6371000     		du = 360.987276914769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27088023)-sin(1.27082358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.295494170570315)×R²
    abs(2.77362901-2.77343726)×5.41207424649692e-05×R²
    0.000191749999999935×5.41207424649692e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.41207424649692e-05×40589641000000     		ar = 130274.568001041m²