Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30847 / 38310
↖ ↑ ↗
← S 29.104177°
W 10.552368°		 ← 533.72 m → S 29.104177°
W 10.546875°		 →
↑
533.70 m
↓
↑
533.70 m
↓
S 29.108976°
W 10.552368°		 ← 533.70 m →
284 841 m²		 S 29.108976°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470695495605469 y=0.584571838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470695495605469 × 216)
    floor (0.470695495605469 × 65536)
    floor (30847.5)     		tx = 30847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584571838378906 × 216)
    floor (0.584571838378906 × 65536)
    floor (38310.5)     		ty = 38310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30847 / 38310 ti = "16/30847/38310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30847/38310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30847 ÷ 216
    30847 ÷ 65536     		x = 0.470687866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38310 ÷ 216
    38310 ÷ 65536     		y = 0.584564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470687866210938 × 2 - 1) × π
    -0.058624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18417357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.16912841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.531332595388702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18417357} λ = -0.18417357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531332595388702))-π/2
    2×atan(0.587821119803356)-π/2
    2×0.531416308795537-π/2
    1.06283261759107-1.57079632675     		φ = -0.50796371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18417357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50796371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.104177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30847 KachelY 38310 -0.18417357 -0.50796371 -10.552368 -29.104177
    Oben rechts KachelX + 1 30848 KachelY 38310 -0.18407769 -0.50796371 -10.546875 -29.104177
    Unten links KachelX 30847 KachelY + 1 38311 -0.18417357 -0.50804748 -10.552368 -29.108976
    Unten rechts KachelX + 1 30848 KachelY + 1 38311 -0.18407769 -0.50804748 -10.546875 -29.108976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50796371--0.50804748) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dl = 533.698670000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50796371--0.50804748) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dr = 533.698670000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18417357--0.18407769) × cos(-0.50796371) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.873736767997952 × 6371000     		do = 533.723397862079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18417357--0.18407769) × cos(-0.50804748) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.873696019281793 × 6371000     		du = 533.698506448506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50796371)-sin(-0.50804748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873736767997952-0.873696019281793)×R²
    abs(-0.18407769--0.18417357)×4.07487161584452e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.07487161584452e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.07487161584452e-05×40589641000000     		ar = 284840.825496485m²