Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30844 / 20348
↖ ↑ ↗
← N 56.182254°
W 10.568848°		 ← 339.94 m → N 56.182254°
W 10.563355°		 →
↑
339.96 m
↓
↑
339.96 m
↓
N 56.179196°
W 10.568848°		 ← 339.96 m →
115 568 m²		 N 56.179196°
W 10.563355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470649719238281 y=0.310493469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470649719238281 × 216)
    floor (0.470649719238281 × 65536)
    floor (30844.5)     		tx = 30844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310493469238281 × 216)
    floor (0.310493469238281 × 65536)
    floor (20348.5)     		ty = 20348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30844 / 20348 ti = "16/30844/20348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30844/20348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30844 ÷ 216
    30844 ÷ 65536     		x = 0.47064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20348 ÷ 216
    20348 ÷ 65536     		y = 0.31048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31048583984375 × 2 - 1) × π
    0.3790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19075258656219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18446119} λ = -0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19075258656219))-π/2
    2×atan(3.28955595164147)-π/2
    2×1.27568081907137-π/2
    2.55136163814274-1.57079632675     		φ = 0.98056531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98056531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.182254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30844 KachelY 20348 -0.18446119 0.98056531 -10.568848 56.182254
    Oben rechts KachelX + 1 30845 KachelY 20348 -0.18436532 0.98056531 -10.563355 56.182254
    Unten links KachelX 30844 KachelY + 1 20349 -0.18446119 0.98051195 -10.568848 56.179196
    Unten rechts KachelX + 1 30845 KachelY + 1 20349 -0.18436532 0.98051195 -10.563355 56.179196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98056531-0.98051195) × R
    5.33600000000023e-05 × 6371000     		dl = 339.956560000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98056531-0.98051195) × R
    5.33600000000023e-05 × 6371000     		dr = 339.956560000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18446119--0.18436532) × cos(0.98056531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556552969317363 × 6371000     		do = 339.935747016223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18446119--0.18436532) × cos(0.98051195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556597300660168 × 6371000     		du = 339.962824058236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98056531)-sin(0.98051195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556552969317363-0.556597300660168)×R²
    abs(-0.18436532--0.18446119)×4.43313428052372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43313428052372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43313428052372e-05×40589641000000     		ar = 115567.989712941m²