Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30843 / 38349
↖ ↑ ↗
← S 29.291190°
W 10.574341°		 ← 532.70 m → S 29.291190°
W 10.568848°		 →
↑
532.74 m
↓
↑
532.74 m
↓
S 29.295981°
W 10.574341°		 ← 532.67 m →
283 783 m²		 S 29.295981°
W 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470634460449219 y=0.585166931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470634460449219 × 216)
    floor (0.470634460449219 × 65536)
    floor (30843.5)     		tx = 30843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585166931152344 × 216)
    floor (0.585166931152344 × 65536)
    floor (38349.5)     		ty = 38349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30843 / 38349 ti = "16/30843/38349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30843/38349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30843 ÷ 216
    30843 ÷ 65536     		x = 0.470626831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38349 ÷ 216
    38349 ÷ 65536     		y = 0.585159301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470626831054688 × 2 - 1) × π
    -0.058746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18455706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585159301757812 × 2 - 1) × π
    -0.170318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535071673559067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18455706} λ = -0.18455706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535071673559067))-π/2
    2×atan(0.585627314646618)-π/2
    2×0.529784311152602-π/2
    1.0595686223052-1.57079632675     		φ = -0.51122770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18455706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.574341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51122770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.291190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30843 KachelY 38349 -0.18455706 -0.51122770 -10.574341 -29.291190
    Oben rechts KachelX + 1 30844 KachelY 38349 -0.18446119 -0.51122770 -10.568848 -29.291190
    Unten links KachelX 30843 KachelY + 1 38350 -0.18455706 -0.51131132 -10.574341 -29.295981
    Unten rechts KachelX + 1 30844 KachelY + 1 38350 -0.18446119 -0.51131132 -10.568848 -29.295981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51122770--0.51131132) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dl = 532.743020000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51122770--0.51131132) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dr = 532.743020000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18455706--0.18446119) × cos(-0.51122770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872144514869497 × 6371000     		do = 532.69520335486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18455706--0.18446119) × cos(-0.51131132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872103600873606 × 6371000     		du = 532.670213586548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51122770)-sin(-0.51131132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872144514869497-0.872103600873606)×R²
    abs(-0.18446119--0.18455706)×4.0913995890568e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0913995890568e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0913995890568e-05×40589641000000     		ar = 283782.994978042m²