Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30843 / 20347
↖ ↑ ↗
← N 56.185311°
W 10.574341°		 ← 339.91 m → N 56.185311°
W 10.568848°		 →
↑
339.96 m
↓
↑
339.96 m
↓
N 56.182254°
W 10.574341°		 ← 339.94 m →
115 559 m²		 N 56.182254°
W 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470634460449219 y=0.310478210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470634460449219 × 216)
    floor (0.470634460449219 × 65536)
    floor (30843.5)     		tx = 30843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310478210449219 × 216)
    floor (0.310478210449219 × 65536)
    floor (20347.5)     		ty = 20347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30843 / 20347 ti = "16/30843/20347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30843/20347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30843 ÷ 216
    30843 ÷ 65536     		x = 0.470626831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20347 ÷ 216
    20347 ÷ 65536     		y = 0.310470581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470626831054688 × 2 - 1) × π
    -0.058746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18455706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310470581054688 × 2 - 1) × π
    0.379058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19084846036143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18455706} λ = -0.18455706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19084846036143))-π/2
    2×atan(3.2898713489873)-π/2
    2×1.27570749743261-π/2
    2.55141499486521-1.57079632675     		φ = 0.98061867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18455706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.574341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98061867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.185311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30843 KachelY 20347 -0.18455706 0.98061867 -10.574341 56.185311
    Oben rechts KachelX + 1 30844 KachelY 20347 -0.18446119 0.98061867 -10.568848 56.185311
    Unten links KachelX 30843 KachelY + 1 20348 -0.18455706 0.98056531 -10.574341 56.182254
    Unten rechts KachelX + 1 30844 KachelY + 1 20348 -0.18446119 0.98056531 -10.568848 56.182254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98061867-0.98056531) × R
    5.33600000000023e-05 × 6371000     		dl = 339.956560000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98061867-0.98056531) × R
    5.33600000000023e-05 × 6371000     		dr = 339.956560000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18455706--0.18446119) × cos(0.98061867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55650863638989 × 6371000     		do = 339.908669006314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18455706--0.18446119) × cos(0.98056531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556552969317363 × 6371000     		du = 339.935747016223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98061867)-sin(0.98056531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55650863638989-0.556552969317363)×R²
    abs(-0.18446119--0.18455706)×4.43329274728566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43329274728566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43329274728566e-05×40589641000000     		ar = 115558.784530737m²