Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30843 / 12679
↖ ↑ ↗
← N 73.417453°
W 10.574341°		 ← 174.32 m → N 73.417453°
W 10.568848°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
N 73.415885°
W 10.574341°		 ← 174.33 m →
30 387 m²		 N 73.415885°
W 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470634460449219 y=0.193473815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470634460449219 × 216)
    floor (0.470634460449219 × 65536)
    floor (30843.5)     		tx = 30843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193473815917969 × 216)
    floor (0.193473815917969 × 65536)
    floor (12679.5)     		ty = 12679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30843 / 12679 ti = "16/30843/12679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30843/12679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30843 ÷ 216
    30843 ÷ 65536     		x = 0.470626831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12679 ÷ 216
    12679 ÷ 65536     		y = 0.193466186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470626831054688 × 2 - 1) × π
    -0.058746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18455706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193466186523438 × 2 - 1) × π
    0.613067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92600875293462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18455706} λ = -0.18455706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92600875293462))-π/2
    2×atan(6.86206730624582)-π/2
    2×1.42608630558324-π/2
    2.85217261116647-1.57079632675     		φ = 1.28137628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18455706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.574341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28137628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.417453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30843 KachelY 12679 -0.18455706 1.28137628 -10.574341 73.417453
    Oben rechts KachelX + 1 30844 KachelY 12679 -0.18446119 1.28137628 -10.568848 73.417453
    Unten links KachelX 30843 KachelY + 1 12680 -0.18455706 1.28134892 -10.574341 73.415885
    Unten rechts KachelX + 1 30844 KachelY + 1 12680 -0.18446119 1.28134892 -10.568848 73.415885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28137628-1.28134892) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dl = 174.310560000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28137628-1.28134892) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dr = 174.310560000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18455706--0.18446119) × cos(1.28137628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285396440439712 × 6371000     		do = 174.316655422106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18455706--0.18446119) × cos(1.28134892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.285422662418267 × 6371000     		du = 174.332671485912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28137628)-sin(1.28134892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285396440439712-0.285422662418267)×R²
    abs(-0.18446119--0.18455706)×2.62219785544526e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62219785544526e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62219785544526e-05×40589641000000     		ar = 30386.6297103605m²