Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30842 / 38312
↖ ↑ ↗
← S 29.113775°
W 10.579834°		 ← 533.67 m → S 29.113775°
W 10.574341°		 →
↑
533.63 m
↓
↑
533.63 m
↓
S 29.118575°
W 10.579834°		 ← 533.65 m →
284 780 m²		 S 29.118575°
W 10.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470619201660156 y=0.584602355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470619201660156 × 216)
    floor (0.470619201660156 × 65536)
    floor (30842.5)     		tx = 30842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584602355957031 × 216)
    floor (0.584602355957031 × 65536)
    floor (38312.5)     		ty = 38312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30842 / 38312 ti = "16/30842/38312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30842/38312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30842 ÷ 216
    30842 ÷ 65536     		x = 0.470611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38312 ÷ 216
    38312 ÷ 65536     		y = 0.5845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.05877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18465294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531524342987183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18465294} λ = -0.18465294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531524342987183))-π/2
    2×atan(0.587708417320859)-π/2
    2×0.531332544238655-π/2
    1.06266508847731-1.57079632675     		φ = -0.50813124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18465294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50813124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.113775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30842 KachelY 38312 -0.18465294 -0.50813124 -10.579834 -29.113775
    Oben rechts KachelX + 1 30843 KachelY 38312 -0.18455706 -0.50813124 -10.574341 -29.113775
    Unten links KachelX 30842 KachelY + 1 38313 -0.18465294 -0.50821500 -10.579834 -29.118575
    Unten rechts KachelX + 1 30843 KachelY + 1 38313 -0.18455706 -0.50821500 -10.574341 -29.118575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50813124--0.50821500) × R
    8.37599999999883e-05 × 6371000     		dl = 533.634959999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50813124--0.50821500) × R
    8.37599999999883e-05 × 6371000     		dr = 533.634959999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18465294--0.18455706) × cos(-0.50813124) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873655269300004 × 6371000     		do = 533.673614261665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18465294--0.18455706) × cos(-0.50821500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873614513188878 × 6371000     		du = 533.648718330865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50813124)-sin(-0.50821500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873655269300004-0.873614513188878)×R²
    abs(-0.18455706--0.18465294)×4.07561111257504e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.07561111257504e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.07561111257504e-05×40589641000000     		ar = 284780.255296613m²