Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30842 / 20185
↖ ↑ ↗
← N 56.677356°
W 10.579834°		 ← 335.57 m → N 56.677356°
W 10.574341°		 →
↑
335.56 m
↓
↑
335.56 m
↓
N 56.674339°
W 10.579834°		 ← 335.60 m →
112 610 m²		 N 56.674339°
W 10.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470619201660156 y=0.308006286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470619201660156 × 216)
    floor (0.470619201660156 × 65536)
    floor (30842.5)     		tx = 30842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308006286621094 × 216)
    floor (0.308006286621094 × 65536)
    floor (20185.5)     		ty = 20185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30842 / 20185 ti = "16/30842/20185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30842/20185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30842 ÷ 216
    30842 ÷ 65536     		x = 0.470611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20185 ÷ 216
    20185 ÷ 65536     		y = 0.307998657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.05877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18465294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307998657226562 × 2 - 1) × π
    0.384002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20638001583833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18465294} λ = -0.18465294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20638001583833))-π/2
    2×atan(3.34136703724087)-π/2
    2×1.28000140210266-π/2
    2.56000280420531-1.57079632675     		φ = 0.98920648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18465294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98920648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.677356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30842 KachelY 20185 -0.18465294 0.98920648 -10.579834 56.677356
    Oben rechts KachelX + 1 30843 KachelY 20185 -0.18455706 0.98920648 -10.574341 56.677356
    Unten links KachelX 30842 KachelY + 1 20186 -0.18465294 0.98915381 -10.579834 56.674339
    Unten rechts KachelX + 1 30843 KachelY + 1 20186 -0.18455706 0.98915381 -10.574341 56.674339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98920648-0.98915381) × R
    5.26699999999769e-05 × 6371000     		dl = 335.560569999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98920648-0.98915381) × R
    5.26699999999769e-05 × 6371000     		dr = 335.560569999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18465294--0.18455706) × cos(0.98920648) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.549353091098647 × 6371000     		do = 335.573148740158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18465294--0.18455706) × cos(0.98915381) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.549397100878744 × 6371000     		du = 335.600032179464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98920648)-sin(0.98915381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549353091098647-0.549397100878744)×R²
    abs(-0.18455706--0.18465294)×4.40097800962214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40097800962214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40097800962214e-05×40589641000000     		ar = 112609.627604795m²