Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30841 / 20402
↖ ↑ ↗
← N 56.016808°
W 10.585327°		 ← 341.40 m → N 56.016808°
W 10.579834°		 →
↑
341.42 m
↓
↑
341.42 m
↓
N 56.013737°
W 10.585327°		 ← 341.43 m →
116 566 m²		 N 56.013737°
W 10.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470603942871094 y=0.311317443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470603942871094 × 216)
    floor (0.470603942871094 × 65536)
    floor (30841.5)     		tx = 30841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311317443847656 × 216)
    floor (0.311317443847656 × 65536)
    floor (20402.5)     		ty = 20402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30841 / 20402 ti = "16/30841/20402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30841/20402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30841 ÷ 216
    30841 ÷ 65536     		x = 0.470596313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20402 ÷ 216
    20402 ÷ 65536     		y = 0.311309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470596313476562 × 2 - 1) × π
    -0.058807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18474881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311309814453125 × 2 - 1) × π
    0.37738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18557540140323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18474881} λ = -0.18474881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18557540140323))-π/2
    2×atan(3.27256932079698)-π/2
    2×1.27423702935029-π/2
    2.54847405870057-1.57079632675     		φ = 0.97767773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18474881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.585327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97767773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.016808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30841 KachelY 20402 -0.18474881 0.97767773 -10.585327 56.016808
    Oben rechts KachelX + 1 30842 KachelY 20402 -0.18465294 0.97767773 -10.579834 56.016808
    Unten links KachelX 30841 KachelY + 1 20403 -0.18474881 0.97762414 -10.585327 56.013737
    Unten rechts KachelX + 1 30842 KachelY + 1 20403 -0.18465294 0.97762414 -10.579834 56.013737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97767773-0.97762414) × R
    5.35900000000478e-05 × 6371000     		dl = 341.421890000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97767773-0.97762414) × R
    5.35900000000478e-05 × 6371000     		dr = 341.421890000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18474881--0.18465294) × cos(0.97767773) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.558949682167943 × 6371000     		do = 341.399629913658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18474881--0.18465294) × cos(0.97762414) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.558994118277732 × 6371000     		du = 341.426770946064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97767773)-sin(0.97762414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558949682167943-0.558994118277732)×R²
    abs(-0.18465294--0.18474881)×4.44361097891033e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.44361097891033e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.44361097891033e-05×40589641000000     		ar = 116565.940189891m²