Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30841 / 16923
↖ ↑ ↗
← N 65.304945°
W 10.585327°		 ← 255.18 m → N 65.304945°
W 10.579834°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
N 65.302650°
W 10.585327°		 ← 255.20 m →
65 114 m²		 N 65.302650°
W 10.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470603942871094 y=0.258232116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470603942871094 × 216)
    floor (0.470603942871094 × 65536)
    floor (30841.5)     		tx = 30841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258232116699219 × 216)
    floor (0.258232116699219 × 65536)
    floor (16923.5)     		ty = 16923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30841 / 16923 ti = "16/30841/16923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30841/16923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30841 ÷ 216
    30841 ÷ 65536     		x = 0.470596313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16923 ÷ 216
    16923 ÷ 65536     		y = 0.258224487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470596313476562 × 2 - 1) × π
    -0.058807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18474881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258224487304688 × 2 - 1) × π
    0.483551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51912034895958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18474881} λ = -0.18474881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51912034895958))-π/2
    2×atan(4.56820500093545)-π/2
    2×1.35529131924903-π/2
    2.71058263849806-1.57079632675     		φ = 1.13978631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18474881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.585327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13978631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.304945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30841 KachelY 16923 -0.18474881 1.13978631 -10.585327 65.304945
    Oben rechts KachelX + 1 30842 KachelY 16923 -0.18465294 1.13978631 -10.579834 65.304945
    Unten links KachelX 30841 KachelY + 1 16924 -0.18474881 1.13974626 -10.585327 65.302650
    Unten rechts KachelX + 1 30842 KachelY + 1 16924 -0.18465294 1.13974626 -10.579834 65.302650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13978631-1.13974626) × R
    4.00500000001802e-05 × 6371000     		dl = 255.158550001148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13978631-1.13974626) × R
    4.00500000001802e-05 × 6371000     		dr = 255.158550001148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18474881--0.18465294) × cos(1.13978631) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.41778866031427 × 6371000     		do = 255.180204164708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18474881--0.18465294) × cos(1.13974626) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.417825047175989 × 6371000     		du = 255.202428814835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13978631)-sin(1.13974626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41778866031427-0.417825047175989)×R²
    abs(-0.18465294--0.18474881)×3.63868617194729e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.63868617194729e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.63868617194729e-05×40589641000000     		ar = 65114.2462975238m²