Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3084 / 5016
↖ ↑ ↗
← S 37.439974°
W 44.472656°		 ← 3 879.83 m → S 37.439974°
W 44.428711°		 →
↑
3 878.92 m
↓
↑
3 878.92 m
↓
S 37.474858°
W 44.472656°		 ← 3 878.02 m →
15 046 040 m²		 S 37.474858°
W 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37652587890625 y=0.61236572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37652587890625 × 213)
    floor (0.37652587890625 × 8192)
    floor (3084.5)     		tx = 3084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61236572265625 × 213)
    floor (0.61236572265625 × 8192)
    floor (5016.5)     		ty = 5016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3084 / 5016 ti = "13/3084/5016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3084/5016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3084 ÷ 213
    3084 ÷ 8192     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5016 ÷ 213
    5016 ÷ 8192     		y = 0.6123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6123046875 × 2 - 1) × π
    -0.224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.705631162407227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705631162407227))-π/2
    2×atan(0.493796809896305)-π/2
    2×0.458672753868773-π/2
    0.917345507737545-1.57079632675     		φ = -0.65345082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65345082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.439974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3084 KachelY 5016 -0.77619428 -0.65345082 -44.472656 -37.439974
    Oben rechts KachelX + 1 3085 KachelY 5016 -0.77542729 -0.65345082 -44.428711 -37.439974
    Unten links KachelX 3084 KachelY + 1 5017 -0.77619428 -0.65405966 -44.472656 -37.474858
    Unten rechts KachelX + 1 3085 KachelY + 1 5017 -0.77542729 -0.65405966 -44.428711 -37.474858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65345082--0.65405966) × R
    0.000608840000000055 × 6371000     		dl = 3878.91964000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65345082--0.65405966) × R
    0.000608840000000055 × 6371000     		dr = 3878.91964000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77542729) × cos(-0.65345082) × R
    0.000766990000000023 × 0.793990673399832 × 6371000     		do = 3879.83009789098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77542729) × cos(-0.65405966) × R
    0.000766990000000023 × 0.793620394198061 × 6371000     		du = 3878.0207310561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65345082)-sin(-0.65405966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793990673399832-0.793620394198061)×R²
    abs(-0.77542729--0.77619428)×0.000370279201770907×R²
    0.000766990000000023×0.000370279201770907×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370279201770907×40589641000000     		ar = 15046040.4370765m²