Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30838 / 38678
↖ ↑ ↗
← S 30.855079°
W 10.601806°		 ← 524.34 m → S 30.855079°
W 10.596314°		 →
↑
524.40 m
↓
↑
524.40 m
↓
S 30.859795°
W 10.601806°		 ← 524.32 m →
274 956 m²		 S 30.859795°
W 10.596314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470558166503906 y=0.590187072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470558166503906 × 216)
    floor (0.470558166503906 × 65536)
    floor (30838.5)     		tx = 30838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590187072753906 × 216)
    floor (0.590187072753906 × 65536)
    floor (38678.5)     		ty = 38678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30838 / 38678 ti = "16/30838/38678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30838/38678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30838 ÷ 216
    30838 ÷ 65536     		x = 0.470550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38678 ÷ 216
    38678 ÷ 65536     		y = 0.590179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.05889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18503643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.18035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.566614153509064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18503643} λ = -0.18503643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566614153509064))-π/2
    2×atan(0.567443466262792)-π/2
    2×0.516136801143647-π/2
    1.03227360228729-1.57079632675     		φ = -0.53852272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18503643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.601806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53852272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.855079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30838 KachelY 38678 -0.18503643 -0.53852272 -10.601806 -30.855079
    Oben rechts KachelX + 1 30839 KachelY 38678 -0.18494056 -0.53852272 -10.596314 -30.855079
    Unten links KachelX 30838 KachelY + 1 38679 -0.18503643 -0.53860503 -10.601806 -30.859795
    Unten rechts KachelX + 1 30839 KachelY + 1 38679 -0.18494056 -0.53860503 -10.596314 -30.859795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53852272--0.53860503) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dl = 524.39701000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53852272--0.53860503) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dr = 524.39701000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18503643--0.18494056) × cos(-0.53852272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858467267992557 × 6371000     		do = 524.341308235155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18503643--0.18494056) × cos(-0.53860503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858425050890256 × 6371000     		du = 524.315522545385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53852272)-sin(-0.53860503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858467267992557-0.858425050890256)×R²
    abs(-0.18494056--0.18503643)×4.2217102300901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2217102300901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2217102300901e-05×40589641000000     		ar = 274956.253443824m²