Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30837 / 6286
↖ ↑ ↗
← N 73.584378°
E158.785400°		 ← 345.24 m → N 73.584378°
E158.796387°		 →
↑
345.24 m
↓
↑
345.24 m
↓
N 73.581273°
E158.785400°		 ← 345.30 m →
119 203 m²		 N 73.581273°
E158.796387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941085815429688 y=0.191848754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941085815429688 × 215)
    floor (0.941085815429688 × 32768)
    floor (30837.5)     		tx = 30837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191848754882812 × 215)
    floor (0.191848754882812 × 32768)
    floor (6286.5)     		ty = 6286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30837 / 6286 ti = "15/30837/6286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30837/6286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30837 ÷ 215
    30837 ÷ 32768     		x = 0.941070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6286 ÷ 215
    6286 ÷ 32768     		y = 0.19183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941070556640625 × 2 - 1) × π
    0.88214111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77132804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19183349609375 × 2 - 1) × π
    0.6163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93626724945331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77132804} λ = 2.77132804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93626724945331))-π/2
    2×atan(6.93282410850589)-π/2
    2×1.42754299995311-π/2
    2.85508599990621-1.57079632675     		φ = 1.28428967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77132804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.785400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28428967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.584378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30837 KachelY 6286 2.77132804 1.28428967 158.785400 73.584378
    Oben rechts KachelX + 1 30838 KachelY 6286 2.77151979 1.28428967 158.796387 73.584378
    Unten links KachelX 30837 KachelY + 1 6287 2.77132804 1.28423548 158.785400 73.581273
    Unten rechts KachelX + 1 30838 KachelY + 1 6287 2.77151979 1.28423548 158.796387 73.581273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28428967-1.28423548) × R
    5.4189999999954e-05 × 6371000     		dl = 345.244489999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28428967-1.28423548) × R
    5.4189999999954e-05 × 6371000     		dr = 345.244489999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77132804-2.77151979) × cos(1.28428967) × R
    0.000191749999999935 × 0.282603012382331 × 6371000     		do = 345.238932094374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77132804-2.77151979) × cos(1.28423548) × R
    0.000191749999999935 × 0.282654993018001 × 6371000     		du = 345.302433679149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28428967)-sin(1.28423548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282603012382331-0.282654993018001)×R²
    abs(2.77151979-2.77132804)×5.19806356700792e-05×R²
    0.000191749999999935×5.19806356700792e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.19806356700792e-05×40589641000000     		ar = 119202.800854151m²