Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30837 / 20478
↖ ↑ ↗
← N 55.782752°
W 10.607300°		 ← 343.50 m → N 55.782752°
W 10.601806°		 →
↑
343.52 m
↓
↑
343.52 m
↓
N 55.779662°
W 10.607300°		 ← 343.53 m →
118 006 m²		 N 55.779662°
W 10.601806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470542907714844 y=0.312477111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470542907714844 × 216)
    floor (0.470542907714844 × 65536)
    floor (30837.5)     		tx = 30837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312477111816406 × 216)
    floor (0.312477111816406 × 65536)
    floor (20478.5)     		ty = 20478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30837 / 20478 ti = "16/30837/20478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30837/20478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30837 ÷ 216
    30837 ÷ 65536     		x = 0.470535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20478 ÷ 216
    20478 ÷ 65536     		y = 0.312469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.058929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18513231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312469482421875 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17828899266098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18513231} λ = -0.18513231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17828899266098))-π/2
    2×atan(3.24881070569416)-π/2
    2×1.2721945029275-π/2
    2.544389005855-1.57079632675     		φ = 0.97359268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18513231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97359268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.782752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30837 KachelY 20478 -0.18513231 0.97359268 -10.607300 55.782752
    Oben rechts KachelX + 1 30838 KachelY 20478 -0.18503643 0.97359268 -10.601806 55.782752
    Unten links KachelX 30837 KachelY + 1 20479 -0.18513231 0.97353876 -10.607300 55.779662
    Unten rechts KachelX + 1 30838 KachelY + 1 20479 -0.18503643 0.97353876 -10.601806 55.779662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97359268-0.97353876) × R
    5.39200000000406e-05 × 6371000     		dl = 343.524320000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97359268-0.97353876) × R
    5.39200000000406e-05 × 6371000     		dr = 343.524320000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18513231--0.18503643) × cos(0.97359268) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562332338875607 × 6371000     		do = 343.501541454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18513231--0.18503643) × cos(0.97353876) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562376925116817 × 6371000     		du = 343.528777025431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97359268)-sin(0.97353876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562332338875607-0.562376925116817)×R²
    abs(-0.18503643--0.18513231)×4.4586241209843e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4586241209843e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4586241209843e-05×40589641000000     		ar = 118005.81151607m²