Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30837 / 16853
↖ ↑ ↗
← N 65.465105°
W 10.607300°		 ← 253.65 m → N 65.465105°
W 10.601806°		 →
↑
253.69 m
↓
↑
253.69 m
↓
N 65.462824°
W 10.607300°		 ← 253.68 m →
64 353 m²		 N 65.462824°
W 10.601806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470542907714844 y=0.257164001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470542907714844 × 216)
    floor (0.470542907714844 × 65536)
    floor (30837.5)     		tx = 30837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257164001464844 × 216)
    floor (0.257164001464844 × 65536)
    floor (16853.5)     		ty = 16853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30837 / 16853 ti = "16/30837/16853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30837/16853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30837 ÷ 216
    30837 ÷ 65536     		x = 0.470535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16853 ÷ 216
    16853 ÷ 65536     		y = 0.257156372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.058929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18513231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257156372070312 × 2 - 1) × π
    0.485687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52583151490639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18513231} λ = -0.18513231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52583151490639))-π/2
    2×atan(4.59896608870224)-π/2
    2×1.35668897656847-π/2
    2.71337795313694-1.57079632675     		φ = 1.14258163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18513231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14258163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.465105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30837 KachelY 16853 -0.18513231 1.14258163 -10.607300 65.465105
    Oben rechts KachelX + 1 30838 KachelY 16853 -0.18503643 1.14258163 -10.601806 65.465105
    Unten links KachelX 30837 KachelY + 1 16854 -0.18513231 1.14254181 -10.607300 65.462824
    Unten rechts KachelX + 1 30838 KachelY + 1 16854 -0.18503643 1.14254181 -10.601806 65.462824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14258163-1.14254181) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dl = 253.693220000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14258163-1.14254181) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dr = 253.693220000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18513231--0.18503643) × cos(1.14258163) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415247359477488 × 6371000     		do = 253.654464102896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18513231--0.18503643) × cos(1.14254181) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415283583742386 × 6371000     		du = 253.676591748721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14258163)-sin(1.14254181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415247359477488-0.415283583742386)×R²
    abs(-0.18503643--0.18513231)×3.62242648974664e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.62242648974664e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.62242648974664e-05×40589641000000     		ar = 64353.224591211m²