Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30836 / 6285
↖ ↑ ↗
← N 73.587483°
E158.774414°		 ← 345.18 m → N 73.587483°
E158.785400°		 →
↑
345.24 m
↓
↑
345.24 m
↓
N 73.584378°
E158.774414°		 ← 345.24 m →
119 181 m²		 N 73.584378°
E158.785400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941055297851562 y=0.191818237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941055297851562 × 215)
    floor (0.941055297851562 × 32768)
    floor (30836.5)     		tx = 30836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191818237304688 × 215)
    floor (0.191818237304688 × 32768)
    floor (6285.5)     		ty = 6285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30836 / 6285 ti = "15/30836/6285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30836/6285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30836 ÷ 215
    30836 ÷ 32768     		x = 0.9410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6285 ÷ 215
    6285 ÷ 32768     		y = 0.191802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9410400390625 × 2 - 1) × π
    0.882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77113629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191802978515625 × 2 - 1) × π
    0.61639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93645899705179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77113629} λ = 2.77113629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93645899705179))-π/2
    2×atan(6.93415358833759)-π/2
    2×1.42757009168569-π/2
    2.85514018337139-1.57079632675     		φ = 1.28434386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77113629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28434386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.587483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30836 KachelY 6285 2.77113629 1.28434386 158.774414 73.587483
    Oben rechts KachelX + 1 30837 KachelY 6285 2.77132804 1.28434386 158.785400 73.587483
    Unten links KachelX 30836 KachelY + 1 6286 2.77113629 1.28428967 158.774414 73.584378
    Unten rechts KachelX + 1 30837 KachelY + 1 6286 2.77132804 1.28428967 158.785400 73.584378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28434386-1.28428967) × R
    5.4189999999954e-05 × 6371000     		dl = 345.244489999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28434386-1.28428967) × R
    5.4189999999954e-05 × 6371000     		dr = 345.244489999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77113629-2.77132804) × cos(1.28434386) × R
    0.000191750000000379 × 0.282551030916781 × 6371000     		do = 345.175429496586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77113629-2.77132804) × cos(1.28428967) × R
    0.000191750000000379 × 0.282603012382331 × 6371000     		du = 345.238932095174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28434386)-sin(1.28428967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282551030916781-0.282603012382331)×R²
    abs(2.77132804-2.77113629)×5.19814655496886e-05×R²
    0.000191750000000379×5.19814655496886e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.19814655496886e-05×40589641000000     		ar = 119180.877106684m²