Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30836 / 20456
↖ ↑ ↗
← N 55.850650°
W 10.612793°		 ← 342.87 m → N 55.850650°
W 10.607300°		 →
↑
342.89 m
↓
↑
342.89 m
↓
N 55.847566°
W 10.612793°		 ← 342.89 m →
117 569 m²		 N 55.847566°
W 10.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470527648925781 y=0.312141418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470527648925781 × 216)
    floor (0.470527648925781 × 65536)
    floor (30836.5)     		tx = 30836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312141418457031 × 216)
    floor (0.312141418457031 × 65536)
    floor (20456.5)     		ty = 20456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30836 / 20456 ti = "16/30836/20456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30836/20456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30836 ÷ 216
    30836 ÷ 65536     		x = 0.47052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20456 ÷ 216
    20456 ÷ 65536     		y = 0.3121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18522818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3121337890625 × 2 - 1) × π
    0.375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18039821624426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18522818} λ = -0.18522818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18039821624426))-π/2
    2×atan(3.25567040562954)-π/2
    2×1.27278702823085-π/2
    2.5455740564617-1.57079632675     		φ = 0.97477773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18522818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97477773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.850650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30836 KachelY 20456 -0.18522818 0.97477773 -10.612793 55.850650
    Oben rechts KachelX + 1 30837 KachelY 20456 -0.18513231 0.97477773 -10.607300 55.850650
    Unten links KachelX 30836 KachelY + 1 20457 -0.18522818 0.97472391 -10.612793 55.847566
    Unten rechts KachelX + 1 30837 KachelY + 1 20457 -0.18513231 0.97472391 -10.607300 55.847566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97477773-0.97472391) × R
    5.38199999999822e-05 × 6371000     		dl = 342.887219999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97477773-0.97472391) × R
    5.38199999999822e-05 × 6371000     		dr = 342.887219999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18522818--0.18513231) × cos(0.97477773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56135201298455 × 6371000     		do = 342.866944195837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18522818--0.18513231) × cos(0.97472391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561396552373032 × 6371000     		du = 342.894148309605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97477773)-sin(0.97472391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56135201298455-0.561396552373032)×R²
    abs(-0.18513231--0.18522818)×4.45393884824785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45393884824785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45393884824785e-05×40589641000000     		ar = 117569.357325037m²