Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30835 / 20486
↖ ↑ ↗
← N 55.758032°
W 10.618286°		 ← 343.68 m → N 55.758032°
W 10.612793°		 →
↑
343.72 m
↓
↑
343.72 m
↓
N 55.754941°
W 10.618286°		 ← 343.71 m →
118 134 m²		 N 55.754941°
W 10.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470512390136719 y=0.312599182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470512390136719 × 216)
    floor (0.470512390136719 × 65536)
    floor (30835.5)     		tx = 30835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312599182128906 × 216)
    floor (0.312599182128906 × 65536)
    floor (20486.5)     		ty = 20486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30835 / 20486 ti = "16/30835/20486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30835/20486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30835 ÷ 216
    30835 ÷ 65536     		x = 0.470504760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20486 ÷ 216
    20486 ÷ 65536     		y = 0.312591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470504760742188 × 2 - 1) × π
    -0.058990478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18532405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17752200226706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18532405} λ = -0.18532405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17752200226706))-π/2
    2×atan(3.24631985444282)-π/2
    2×1.27197878278165-π/2
    2.54395756556329-1.57079632675     		φ = 0.97316124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18532405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.618286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97316124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.758032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30835 KachelY 20486 -0.18532405 0.97316124 -10.618286 55.758032
    Oben rechts KachelX + 1 30836 KachelY 20486 -0.18522818 0.97316124 -10.612793 55.758032
    Unten links KachelX 30835 KachelY + 1 20487 -0.18532405 0.97310729 -10.618286 55.754941
    Unten rechts KachelX + 1 30836 KachelY + 1 20487 -0.18522818 0.97310729 -10.612793 55.754941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97316124-0.97310729) × R
    5.39500000000803e-05 × 6371000     		dl = 343.715450000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97316124-0.97310729) × R
    5.39500000000803e-05 × 6371000     		dr = 343.715450000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18532405--0.18522818) × cos(0.97316124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562689049150518 × 6371000     		do = 343.683589534058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18532405--0.18522818) × cos(0.97310729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562733647104534 × 6371000     		du = 343.710829418938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97316124)-sin(0.97310729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562689049150518-0.562733647104534)×R²
    abs(-0.18522818--0.18532405)×4.45979540157904e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45979540157904e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45979540157904e-05×40589641000000     		ar = 118134.041048074m²