Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30835 / 16851
↖ ↑ ↗
← N 65.469666°
W 10.618286°		 ← 253.58 m → N 65.469666°
W 10.612793°		 →
↑
253.57 m
↓
↑
253.57 m
↓
N 65.467386°
W 10.618286°		 ← 253.61 m →
64 303 m²		 N 65.467386°
W 10.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470512390136719 y=0.257133483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470512390136719 × 216)
    floor (0.470512390136719 × 65536)
    floor (30835.5)     		tx = 30835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257133483886719 × 216)
    floor (0.257133483886719 × 65536)
    floor (16851.5)     		ty = 16851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30835 / 16851 ti = "16/30835/16851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30835/16851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30835 ÷ 216
    30835 ÷ 65536     		x = 0.470504760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16851 ÷ 216
    16851 ÷ 65536     		y = 0.257125854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470504760742188 × 2 - 1) × π
    -0.058990478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18532405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257125854492188 × 2 - 1) × π
    0.485748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52602326250487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18532405} λ = -0.18532405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52602326250487))-π/2
    2×atan(4.59984801395606)-π/2
    2×1.35672878443869-π/2
    2.71345756887739-1.57079632675     		φ = 1.14266124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18532405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.618286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14266124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.469666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30835 KachelY 16851 -0.18532405 1.14266124 -10.618286 65.469666
    Oben rechts KachelX + 1 30836 KachelY 16851 -0.18522818 1.14266124 -10.612793 65.469666
    Unten links KachelX 30835 KachelY + 1 16852 -0.18532405 1.14262144 -10.618286 65.467386
    Unten rechts KachelX + 1 30836 KachelY + 1 16852 -0.18522818 1.14262144 -10.612793 65.467386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14266124-1.14262144) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dl = 253.565799999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14266124-1.14262144) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dr = 253.565799999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18532405--0.18522818) × cos(1.14266124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41517493626471 × 6371000     		do = 253.583773481009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18532405--0.18522818) × cos(1.14262144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415211143651412 × 6371000     		du = 253.60588850999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14266124)-sin(1.14262144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41517493626471-0.415211143651412)×R²
    abs(-0.18522818--0.18532405)×3.6207386701903e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6207386701903e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6207386701903e-05×40589641000000     		ar = 64302.9762057326m²