Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30833 / 6310
↖ ↑ ↗
← N 73.509699°
E158.741455°		 ← 346.77 m → N 73.509699°
E158.752442°		 →
↑
346.84 m
↓
↑
346.84 m
↓
N 73.506580°
E158.741455°		 ← 346.83 m →
120 282 m²		 N 73.506580°
E158.752442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940963745117188 y=0.192581176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940963745117188 × 215)
    floor (0.940963745117188 × 32768)
    floor (30833.5)     		tx = 30833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192581176757812 × 215)
    floor (0.192581176757812 × 32768)
    floor (6310.5)     		ty = 6310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30833 / 6310 ti = "15/30833/6310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30833/6310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30833 ÷ 215
    30833 ÷ 32768     		x = 0.940948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6310 ÷ 215
    6310 ÷ 32768     		y = 0.19256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940948486328125 × 2 - 1) × π
    0.88189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77056105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19256591796875 × 2 - 1) × π
    0.6148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93166530708978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77056105} λ = 2.77056105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93166530708978))-π/2
    2×atan(6.90099295029615)-π/2
    2×1.426891301401-π/2
    2.853782602802-1.57079632675     		φ = 1.28298628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77056105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28298628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.509699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30833 KachelY 6310 2.77056105 1.28298628 158.741455 73.509699
    Oben rechts KachelX + 1 30834 KachelY 6310 2.77075280 1.28298628 158.752442 73.509699
    Unten links KachelX 30833 KachelY + 1 6311 2.77056105 1.28293184 158.741455 73.506580
    Unten rechts KachelX + 1 30834 KachelY + 1 6311 2.77075280 1.28293184 158.752442 73.506580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28298628-1.28293184) × R
    5.44399999999889e-05 × 6371000     		dl = 346.83723999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28298628-1.28293184) × R
    5.44399999999889e-05 × 6371000     		dr = 346.83723999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77056105-2.77075280) × cos(1.28298628) × R
    0.000191749999999935 × 0.283853031837602 × 6371000     		do = 346.766004924197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77056105-2.77075280) × cos(1.28293184) × R
    0.000191749999999935 × 0.283905232179934 × 6371000     		du = 346.829774911253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28298628)-sin(1.28293184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283853031837602-0.283905232179934)×R²
    abs(2.77075280-2.77056105)×5.22003423323314e-05×R²
    0.000191749999999935×5.22003423323314e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.22003423323314e-05×40589641000000     		ar = 120282.423007031m²