Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30833 / 16910
↖ ↑ ↗
← N 65.334763°
W 10.629272°		 ← 254.89 m → N 65.334763°
W 10.623779°		 →
↑
254.90 m
↓
↑
254.90 m
↓
N 65.332471°
W 10.629272°		 ← 254.91 m →
64 976 m²		 N 65.332471°
W 10.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470481872558594 y=0.258033752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470481872558594 × 216)
    floor (0.470481872558594 × 65536)
    floor (30833.5)     		tx = 30833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258033752441406 × 216)
    floor (0.258033752441406 × 65536)
    floor (16910.5)     		ty = 16910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30833 / 16910 ti = "16/30833/16910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30833/16910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30833 ÷ 216
    30833 ÷ 65536     		x = 0.470474243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16910 ÷ 216
    16910 ÷ 65536     		y = 0.258026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470474243164062 × 2 - 1) × π
    -0.059051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18551580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258026123046875 × 2 - 1) × π
    0.48394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5203667083497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18551580} λ = -0.18551580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5203667083497))-π/2
    2×atan(4.57390217576054)-π/2
    2×1.35555152929107-π/2
    2.71110305858215-1.57079632675     		φ = 1.14030673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18551580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.629272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14030673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.334763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30833 KachelY 16910 -0.18551580 1.14030673 -10.629272 65.334763
    Oben rechts KachelX + 1 30834 KachelY 16910 -0.18541993 1.14030673 -10.623779 65.334763
    Unten links KachelX 30833 KachelY + 1 16911 -0.18551580 1.14026672 -10.629272 65.332471
    Unten rechts KachelX + 1 30834 KachelY + 1 16911 -0.18541993 1.14026672 -10.623779 65.332471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14030673-1.14026672) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dl = 254.903709999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14030673-1.14026672) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dr = 254.903709999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18551580--0.18541993) × cos(1.14030673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417315779166132 × 6371000     		do = 254.891374142689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18551580--0.18541993) × cos(1.14026672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417352138381403 × 6371000     		du = 254.913581906703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14030673)-sin(1.14026672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417315779166132-0.417352138381403)×R²
    abs(-0.18541993--0.18551580)×3.63592152713976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63592152713976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63592152713976e-05×40589641000000     		ar = 64975.5873453151m²