Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30832 / 17016
↖ ↑ ↗
← N 65.090646°
W 10.634766°		 ← 257.28 m → N 65.090646°
W 10.629272°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
N 65.088332°
W 10.634766°		 ← 257.30 m →
66 191 m²		 N 65.088332°
W 10.629272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470466613769531 y=0.259651184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470466613769531 × 216)
    floor (0.470466613769531 × 65536)
    floor (30832.5)     		tx = 30832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259651184082031 × 216)
    floor (0.259651184082031 × 65536)
    floor (17016.5)     		ty = 17016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30832 / 17016 ti = "16/30832/17016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30832/17016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30832 ÷ 216
    30832 ÷ 65536     		x = 0.470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17016 ÷ 216
    17016 ÷ 65536     		y = 0.2596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2596435546875 × 2 - 1) × π
    0.480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51020408563025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18561168} λ = -0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51020408563025))-π/2
    2×atan(4.5276547292991)-π/2
    2×1.35342120222062-π/2
    2.70684240444124-1.57079632675     		φ = 1.13604608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13604608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.090646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30832 KachelY 17016 -0.18561168 1.13604608 -10.634766 65.090646
    Oben rechts KachelX + 1 30833 KachelY 17016 -0.18551580 1.13604608 -10.629272 65.090646
    Unten links KachelX 30832 KachelY + 1 17017 -0.18561168 1.13600570 -10.634766 65.088332
    Unten rechts KachelX + 1 30833 KachelY + 1 17017 -0.18551580 1.13600570 -10.629272 65.088332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13604608-1.13600570) × R
    4.03800000001731e-05 × 6371000     		dl = 257.260980001103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13604608-1.13600570) × R
    4.03800000001731e-05 × 6371000     		dr = 257.260980001103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18561168--0.18551580) × cos(1.13604608) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421183894526239 × 6371000     		do = 257.280805323497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18561168--0.18551580) × cos(1.13600570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421220517843954 × 6371000     		du = 257.303176731326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13604608)-sin(1.13600570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421183894526239-0.421220517843954)×R²
    abs(-0.18551580--0.18561168)×3.66233177149788e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.66233177149788e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.66233177149788e-05×40589641000000     		ar = 66191.189766966m²