Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30831 / 6292
↖ ↑ ↗
← N 73.565739°
E158.719483°		 ← 345.60 m → N 73.565739°
E158.730469°		 →
↑
345.63 m
↓
↑
345.63 m
↓
N 73.562631°
E158.719483°		 ← 345.67 m →
119 460 m²		 N 73.562631°
E158.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940902709960938 y=0.192031860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940902709960938 × 215)
    floor (0.940902709960938 × 32768)
    floor (30831.5)     		tx = 30831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192031860351562 × 215)
    floor (0.192031860351562 × 32768)
    floor (6292.5)     		ty = 6292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30831 / 6292 ti = "15/30831/6292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30831/6292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30831 ÷ 215
    30831 ÷ 32768     		x = 0.940887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6292 ÷ 215
    6292 ÷ 32768     		y = 0.1920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940887451171875 × 2 - 1) × π
    0.88177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.77017756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1920166015625 × 2 - 1) × π
    0.615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93511676386243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77017756} λ = 2.77017756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93511676386243))-π/2
    2×atan(6.92485258070815)-π/2
    2×1.42738034487523-π/2
    2.85476068975047-1.57079632675     		φ = 1.28396436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77017756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28396436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.565739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30831 KachelY 6292 2.77017756 1.28396436 158.719483 73.565739
    Oben rechts KachelX + 1 30832 KachelY 6292 2.77036930 1.28396436 158.730469 73.565739
    Unten links KachelX 30831 KachelY + 1 6293 2.77017756 1.28391011 158.719483 73.562631
    Unten rechts KachelX + 1 30832 KachelY + 1 6293 2.77036930 1.28391011 158.730469 73.562631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28396436-1.28391011) × R
    5.42499999998114e-05 × 6371000     		dl = 345.626749998798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28396436-1.28391011) × R
    5.42499999998114e-05 × 6371000     		dr = 345.626749998798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77017756-2.77036930) × cos(1.28396436) × R
    0.000191739999999996 × 0.282915046797464 × 6371000     		do = 345.60210106573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77017756-2.77036930) × cos(1.28391011) × R
    0.000191739999999996 × 0.282967079995822 × 6371000     		du = 345.665663548112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28396436)-sin(1.28391011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282915046797464-0.282967079995822)×R²
    abs(2.77036930-2.77017756)×5.20331983581701e-05×R²
    0.000191739999999996×5.20331983581701e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.20331983581701e-05×40589641000000     		ar = 119460.315460672m²