Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30831 / 17017
↖ ↑ ↗
← N 65.088332°
W 10.640259°		 ← 257.28 m → N 65.088332°
W 10.634766°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
N 65.086018°
W 10.640259°		 ← 257.30 m →
66 206 m²		 N 65.086018°
W 10.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470451354980469 y=0.259666442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470451354980469 × 216)
    floor (0.470451354980469 × 65536)
    floor (30831.5)     		tx = 30831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259666442871094 × 216)
    floor (0.259666442871094 × 65536)
    floor (17017.5)     		ty = 17017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30831 / 17017 ti = "16/30831/17017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30831/17017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30831 ÷ 216
    30831 ÷ 65536     		x = 0.470443725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17017 ÷ 216
    17017 ÷ 65536     		y = 0.259658813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470443725585938 × 2 - 1) × π
    -0.059112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18570755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259658813476562 × 2 - 1) × π
    0.480682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51010821183101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18570755} λ = -0.18570755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51010821183101))-π/2
    2×atan(4.5272206666465)-π/2
    2×1.3534010110926-π/2
    2.7068020221852-1.57079632675     		φ = 1.13600570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18570755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.640259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13600570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.088332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30831 KachelY 17017 -0.18570755 1.13600570 -10.640259 65.088332
    Oben rechts KachelX + 1 30832 KachelY 17017 -0.18561168 1.13600570 -10.634766 65.088332
    Unten links KachelX 30831 KachelY + 1 17018 -0.18570755 1.13596531 -10.640259 65.086018
    Unten rechts KachelX + 1 30832 KachelY + 1 17018 -0.18561168 1.13596531 -10.634766 65.086018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13600570-1.13596531) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dl = 257.324689999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13600570-1.13596531) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dr = 257.324689999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18570755--0.18561168) × cos(1.13600570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421220517843954 × 6371000     		do = 257.276340772148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18570755--0.18561168) × cos(1.13596531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421257149544262 × 6371000     		du = 257.298714966691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13600570)-sin(1.13596531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421220517843954-0.421257149544262)×R²
    abs(-0.18561168--0.18570755)×3.6631700308376e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6631700308376e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6631700308376e-05×40589641000000     		ar = 66206.4333588598m²