Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30830 / 38110
↖ ↑ ↗
← S 28.139816°
W 10.645752°		 ← 538.59 m → S 28.139816°
W 10.640259°		 →
↑
538.60 m
↓
↑
538.60 m
↓
S 28.144660°
W 10.645752°		 ← 538.57 m →
290 082 m²		 S 28.144660°
W 10.640259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470436096191406 y=0.581520080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470436096191406 × 216)
    floor (0.470436096191406 × 65536)
    floor (30830.5)     		tx = 30830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581520080566406 × 216)
    floor (0.581520080566406 × 65536)
    floor (38110.5)     		ty = 38110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30830 / 38110 ti = "16/30830/38110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30830/38110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30830 ÷ 216
    30830 ÷ 65536     		x = 0.470428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38110 ÷ 216
    38110 ÷ 65536     		y = 0.581512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.05914306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18580342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.16302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.51215783554068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18580342} λ = -0.18580342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51215783554068))-π/2
    2×atan(0.59920120513529)-π/2
    2×0.539831944112573-π/2
    1.07966388822515-1.57079632675     		φ = -0.49113244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18580342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49113244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.139816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30830 KachelY 38110 -0.18580342 -0.49113244 -10.645752 -28.139816
    Oben rechts KachelX + 1 30831 KachelY 38110 -0.18570755 -0.49113244 -10.640259 -28.139816
    Unten links KachelX 30830 KachelY + 1 38111 -0.18580342 -0.49121698 -10.645752 -28.144660
    Unten rechts KachelX + 1 30831 KachelY + 1 38111 -0.18570755 -0.49121698 -10.640259 -28.144660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49113244--0.49121698) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dl = 538.604340000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49113244--0.49121698) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dr = 538.604340000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18580342--0.18570755) × cos(-0.49113244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881799337382485 × 6371000     		do = 538.592250867314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18580342--0.18570755) × cos(-0.49121698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881759463072922 × 6371000     		du = 538.567896126695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49113244)-sin(-0.49121698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881799337382485-0.881759463072922)×R²
    abs(-0.18570755--0.18580342)×3.98743095637588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98743095637588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98743095637588e-05×40589641000000     		ar = 290081.56519581m²