Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30830 / 26662
↖ ↑ ↗
← N 72.364112°
W 95.322876°		 ← 92.53 m → N 72.364112°
W 95.320129°		 →
↑
92.51 m
↓
↑
92.51 m
↓
N 72.363280°
W 95.322876°		 ← 92.54 m →
8 560 m²		 N 72.363280°
W 95.320129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235218048095703 y=0.203418731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235218048095703 × 217)
    floor (0.235218048095703 × 131072)
    floor (30830.5)     		tx = 30830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203418731689453 × 217)
    floor (0.203418731689453 × 131072)
    floor (26662.5)     		ty = 26662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30830 / 26662 ti = "17/30830/26662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30830/26662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30830 ÷ 217
    30830 ÷ 131072     		x = 0.235214233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26662 ÷ 217
    26662 ÷ 131072     		y = 0.203414916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235214233398438 × 2 - 1) × π
    -0.529571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66369804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203414916992188 × 2 - 1) × π
    0.593170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86349903583006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66369804} λ = -1.66369804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86349903583006))-π/2
    2×atan(6.44625302617364)-π/2
    2×1.4168941746689-π/2
    2.83378834933779-1.57079632675     		φ = 1.26299202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66369804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.322876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26299202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.364112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30830 KachelY 26662 -1.66369804 1.26299202 -95.322876 72.364112
    Oben rechts KachelX + 1 30831 KachelY 26662 -1.66365010 1.26299202 -95.320129 72.364112
    Unten links KachelX 30830 KachelY + 1 26663 -1.66369804 1.26297750 -95.322876 72.363280
    Unten rechts KachelX + 1 30831 KachelY + 1 26663 -1.66365010 1.26297750 -95.320129 72.363280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26299202-1.26297750) × R
    1.45199999999068e-05 × 6371000     		dl = 92.5069199994064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26299202-1.26297750) × R
    1.45199999999068e-05 × 6371000     		dr = 92.5069199994064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66369804--1.66365010) × cos(1.26299202) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302966870421203 × 6371000     		do = 92.5338805942478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66369804--1.66365010) × cos(1.26297750) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302980707965075 × 6371000     		du = 92.538106936325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26299202)-sin(1.26297750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302966870421203-0.302980707965075)×R²
    abs(-1.66365010--1.66369804)×1.38375438727967e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.38375438727967e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.38375438727967e-05×40589641000000     		ar = 8560.21977235532m²