Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3083 / 5015
↖ ↑ ↗
← S 37.405074°
W 44.516602°		 ← 3 881.64 m → S 37.405074°
W 44.472656°		 →
↑
3 880.77 m
↓
↑
3 880.77 m
↓
S 37.439974°
W 44.516602°		 ← 3 879.83 m →
15 060 228 m²		 S 37.439974°
W 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37640380859375 y=0.61224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37640380859375 × 213)
    floor (0.37640380859375 × 8192)
    floor (3083.5)     		tx = 3083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61224365234375 × 213)
    floor (0.61224365234375 × 8192)
    floor (5015.5)     		ty = 5015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3083 / 5015 ti = "13/3083/5015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3083/5015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3083 ÷ 213
    3083 ÷ 8192     		x = 0.3763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5015 ÷ 213
    5015 ÷ 8192     		y = 0.6121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77696127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6121826171875 × 2 - 1) × π
    -0.224365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.704864172013306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77696127} λ = -0.77696127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704864172013306))-π/2
    2×atan(0.494175692587162)-π/2
    2×0.458977316459505-π/2
    0.91795463291901-1.57079632675     		φ = -0.65284169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77696127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.516602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65284169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.405074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3083 KachelY 5015 -0.77696127 -0.65284169 -44.516602 -37.405074
    Oben rechts KachelX + 1 3084 KachelY 5015 -0.77619428 -0.65284169 -44.472656 -37.405074
    Unten links KachelX 3083 KachelY + 1 5016 -0.77696127 -0.65345082 -44.516602 -37.439974
    Unten rechts KachelX + 1 3084 KachelY + 1 5016 -0.77619428 -0.65345082 -44.472656 -37.439974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65284169--0.65345082) × R
    0.000609129999999958 × 6371000     		dl = 3880.76722999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65284169--0.65345082) × R
    0.000609129999999958 × 6371000     		dr = 3880.76722999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77696127--0.77619428) × cos(-0.65284169) × R
    0.000766990000000023 × 0.794360834439696 × 6371000     		do = 3881.63888732849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77696127--0.77619428) × cos(-0.65345082) × R
    0.000766990000000023 × 0.793990673399832 × 6371000     		du = 3879.83009789098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65284169)-sin(-0.65345082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794360834439696-0.793990673399832)×R²
    abs(-0.77619428--0.77696127)×0.000370161039863981×R²
    0.000766990000000023×0.000370161039863981×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370161039863981×40589641000000     		ar = 15060227.7129118m²