Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30829 / 6287
↖ ↑ ↗
← N 73.581273°
E158.697510°		 ← 345.30 m → N 73.581273°
E158.708496°		 →
↑
345.31 m
↓
↑
345.31 m
↓
N 73.578167°
E158.697510°		 ← 345.37 m →
119 247 m²		 N 73.578167°
E158.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940841674804688 y=0.191879272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940841674804688 × 215)
    floor (0.940841674804688 × 32768)
    floor (30829.5)     		tx = 30829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191879272460938 × 215)
    floor (0.191879272460938 × 32768)
    floor (6287.5)     		ty = 6287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30829 / 6287 ti = "15/30829/6287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30829/6287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30829 ÷ 215
    30829 ÷ 32768     		x = 0.940826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6287 ÷ 215
    6287 ÷ 32768     		y = 0.191864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940826416015625 × 2 - 1) × π
    0.88165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76979406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191864013671875 × 2 - 1) × π
    0.61627197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93607550185483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76979406} λ = 2.76979406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93607550185483))-π/2
    2×atan(6.93149488357432)-π/2
    2×1.42751590323704-π/2
    2.85503180647408-1.57079632675     		φ = 1.28423548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76979406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.697510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28423548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.581273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30829 KachelY 6287 2.76979406 1.28423548 158.697510 73.581273
    Oben rechts KachelX + 1 30830 KachelY 6287 2.76998581 1.28423548 158.708496 73.581273
    Unten links KachelX 30829 KachelY + 1 6288 2.76979406 1.28418128 158.697510 73.578167
    Unten rechts KachelX + 1 30830 KachelY + 1 6288 2.76998581 1.28418128 158.708496 73.578167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28423548-1.28418128) × R
    5.41999999998932e-05 × 6371000     		dl = 345.30819999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28423548-1.28418128) × R
    5.41999999998932e-05 × 6371000     		dr = 345.30819999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76979406-2.76998581) × cos(1.28423548) × R
    0.000191749999999935 × 0.282654993018001 × 6371000     		do = 345.302433679149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76979406-2.76998581) × cos(1.28418128) × R
    0.000191749999999935 × 0.282706982415702 × 6371000     		du = 345.365945967964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28423548)-sin(1.28418128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282654993018001-0.282706982415702)×R²
    abs(2.76998581-2.76979406)×5.19893977009578e-05×R²
    0.000191749999999935×5.19893977009578e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.19893977009578e-05×40589641000000     		ar = 119246.727515306m²