Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30828 / 6307
↖ ↑ ↗
← N 73.519052°
E158.686523°		 ← 346.57 m → N 73.519052°
E158.697510°		 →
↑
346.65 m
↓
↑
346.65 m
↓
N 73.515935°
E158.686523°		 ← 346.64 m →
120 150 m²		 N 73.515935°
E158.697510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940811157226562 y=0.192489624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940811157226562 × 215)
    floor (0.940811157226562 × 32768)
    floor (30828.5)     		tx = 30828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192489624023438 × 215)
    floor (0.192489624023438 × 32768)
    floor (6307.5)     		ty = 6307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30828 / 6307 ti = "15/30828/6307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30828/6307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30828 ÷ 215
    30828 ÷ 32768     		x = 0.9407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6307 ÷ 215
    6307 ÷ 32768     		y = 0.192474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9407958984375 × 2 - 1) × π
    0.881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76960231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192474365234375 × 2 - 1) × π
    0.61505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93224054988522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76960231} λ = 2.76960231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93224054988522))-π/2
    2×atan(6.90496383877519)-π/2
    2×1.42697292109547-π/2
    2.85394584219093-1.57079632675     		φ = 1.28314952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76960231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.686523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28314952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.519052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30828 KachelY 6307 2.76960231 1.28314952 158.686523 73.519052
    Oben rechts KachelX + 1 30829 KachelY 6307 2.76979406 1.28314952 158.697510 73.519052
    Unten links KachelX 30828 KachelY + 1 6308 2.76960231 1.28309511 158.686523 73.515935
    Unten rechts KachelX + 1 30829 KachelY + 1 6308 2.76979406 1.28309511 158.697510 73.515935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28314952-1.28309511) × R
    5.44099999999492e-05 × 6371000     		dl = 346.646109999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28314952-1.28309511) × R
    5.44099999999492e-05 × 6371000     		dr = 346.646109999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76960231-2.76979406) × cos(1.28314952) × R
    0.000191750000000379 × 0.2836965024768 × 6371000     		do = 346.574782514066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76960231-2.76979406) × cos(1.28309511) × R
    0.000191750000000379 × 0.283748676574249 × 6371000     		du = 346.638520439344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28314952)-sin(1.28309511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2836965024768-0.283748676574249)×R²
    abs(2.76979406-2.76960231)×5.21740974493423e-05×R²
    0.000191750000000379×5.21740974493423e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.21740974493423e-05×40589641000000     		ar = 120149.847464056m²