Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30826 / 6300
↖ ↑ ↗
← N 73.540855°
E158.664551°		 ← 346.11 m → N 73.540855°
E158.675537°		 →
↑
346.20 m
↓
↑
346.20 m
↓
N 73.537742°
E158.664551°		 ← 346.17 m →
119 835 m²		 N 73.537742°
E158.675537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940750122070312 y=0.192276000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940750122070312 × 215)
    floor (0.940750122070312 × 32768)
    floor (30826.5)     		tx = 30826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192276000976562 × 215)
    floor (0.192276000976562 × 32768)
    floor (6300.5)     		ty = 6300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30826 / 6300 ti = "15/30826/6300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30826/6300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30826 ÷ 215
    30826 ÷ 32768     		x = 0.94073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6300 ÷ 215
    6300 ÷ 32768     		y = 0.1922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94073486328125 × 2 - 1) × π
    0.8814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76921882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1922607421875 × 2 - 1) × π
    0.615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93358278307459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76921882} λ = 2.76921882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93358278307459))-π/2
    2×atan(6.91423813315142)-π/2
    2×1.42716319205065-π/2
    2.85432638410131-1.57079632675     		φ = 1.28353006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76921882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.664551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28353006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.540855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30826 KachelY 6300 2.76921882 1.28353006 158.664551 73.540855
    Oben rechts KachelX + 1 30827 KachelY 6300 2.76941056 1.28353006 158.675537 73.540855
    Unten links KachelX 30826 KachelY + 1 6301 2.76921882 1.28347572 158.664551 73.537742
    Unten rechts KachelX + 1 30827 KachelY + 1 6301 2.76941056 1.28347572 158.675537 73.537742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28353006-1.28347572) × R
    5.43399999999306e-05 × 6371000     		dl = 346.200139999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28353006-1.28347572) × R
    5.43399999999306e-05 × 6371000     		dr = 346.200139999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76921882-2.76941056) × cos(1.28353006) × R
    0.000191739999999996 × 0.283331576764258 × 6371000     		do = 346.110923884842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76921882-2.76941056) × cos(1.28347572) × R
    0.000191739999999996 × 0.283383689601994 × 6371000     		du = 346.174583652741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28353006)-sin(1.28347572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283331576764258-0.283383689601994)×R²
    abs(2.76941056-2.76921882)×5.21128377369284e-05×R²
    0.000191739999999996×5.21128377369284e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.21128377369284e-05×40589641000000     		ar = 119834.669843629m²