Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30826 / 38111
↖ ↑ ↗
← S 28.144660°
W 10.667725°		 ← 538.62 m → S 28.144660°
W 10.662231°		 →
↑
538.54 m
↓
↑
538.54 m
↓
S 28.149503°
W 10.667725°		 ← 538.60 m →
290 064 m²		 S 28.149503°
W 10.662231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470375061035156 y=0.581535339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470375061035156 × 216)
    floor (0.470375061035156 × 65536)
    floor (30826.5)     		tx = 30826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581535339355469 × 216)
    floor (0.581535339355469 × 65536)
    floor (38111.5)     		ty = 38111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30826 / 38111 ti = "16/30826/38111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30826/38111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30826 ÷ 216
    30826 ÷ 65536     		x = 0.470367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38111 ÷ 216
    38111 ÷ 65536     		y = 0.581527709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.05926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18618692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581527709960938 × 2 - 1) × π
    -0.163055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.51225370933992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18618692} λ = -0.18618692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51225370933992))-π/2
    2×atan(0.59914376019302)-π/2
    2×0.539789674341922-π/2
    1.07957934868384-1.57079632675     		φ = -0.49121698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18618692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.667725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49121698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.144660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30826 KachelY 38111 -0.18618692 -0.49121698 -10.667725 -28.144660
    Oben rechts KachelX + 1 30827 KachelY 38111 -0.18609104 -0.49121698 -10.662231 -28.144660
    Unten links KachelX 30826 KachelY + 1 38112 -0.18618692 -0.49130151 -10.667725 -28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 30827 KachelY + 1 38112 -0.18609104 -0.49130151 -10.662231 -28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49121698--0.49130151) × R
    8.45299999999716e-05 × 6371000     		dl = 538.540629999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49121698--0.49130151) × R
    8.45299999999716e-05 × 6371000     		dr = 538.540629999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18618692--0.18609104) × cos(-0.49121698) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.881759463072922 × 6371000     		do = 538.624073022058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18618692--0.18609104) × cos(-0.49130151) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 538.599714773332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49121698)-sin(-0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881759463072922-0.881719587179151)×R²
    abs(-0.18609104--0.18618692)×3.98758937703025e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.98758937703025e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.98758937703025e-05×40589641000000     		ar = 290064.388837666m²