Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30826 / 17034
↖ ↑ ↗
← N 65.048968°
W 10.667725°		 ← 257.68 m → N 65.048968°
W 10.662231°		 →
↑
257.71 m
↓
↑
257.71 m
↓
N 65.046650°
W 10.667725°		 ← 257.71 m →
66 410 m²		 N 65.046650°
W 10.662231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470375061035156 y=0.259925842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470375061035156 × 216)
    floor (0.470375061035156 × 65536)
    floor (30826.5)     		tx = 30826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259925842285156 × 216)
    floor (0.259925842285156 × 65536)
    floor (17034.5)     		ty = 17034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30826 / 17034 ti = "16/30826/17034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30826/17034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30826 ÷ 216
    30826 ÷ 65536     		x = 0.470367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17034 ÷ 216
    17034 ÷ 65536     		y = 0.259918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.05926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18618692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259918212890625 × 2 - 1) × π
    0.48016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50847835724393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18618692} λ = -0.18618692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50847835724393))-π/2
    2×atan(4.51984796512402)-π/2
    2×1.35305749318634-π/2
    2.70611498637267-1.57079632675     		φ = 1.13531866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18618692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.667725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13531866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.048968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30826 KachelY 17034 -0.18618692 1.13531866 -10.667725 65.048968
    Oben rechts KachelX + 1 30827 KachelY 17034 -0.18609104 1.13531866 -10.662231 65.048968
    Unten links KachelX 30826 KachelY + 1 17035 -0.18618692 1.13527821 -10.667725 65.046650
    Unten rechts KachelX + 1 30827 KachelY + 1 17035 -0.18609104 1.13527821 -10.662231 65.046650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13531866-1.13527821) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dl = 257.706949999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13531866-1.13527821) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dr = 257.706949999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18618692--0.18609104) × cos(1.13531866) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421843534980997 × 6371000     		do = 257.683747671554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18618692--0.18609104) × cos(1.13527821) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421880209382571 × 6371000     		du = 257.706150284033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13531866)-sin(1.13527821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421843534980997-0.421880209382571)×R²
    abs(-0.18609104--0.18618692)×3.66744015732889e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.66744015732889e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.66744015732889e-05×40589641000000     		ar = 66409.7793405031m²