Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30825 / 20370
↖ ↑ ↗
← N 56.114936°
W 10.673218°		 ← 340.53 m → N 56.114936°
W 10.667725°		 →
↑
340.59 m
↓
↑
340.59 m
↓
N 56.111873°
W 10.673218°		 ← 340.56 m →
115 988 m²		 N 56.111873°
W 10.667725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470359802246094 y=0.310829162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470359802246094 × 216)
    floor (0.470359802246094 × 65536)
    floor (30825.5)     		tx = 30825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310829162597656 × 216)
    floor (0.310829162597656 × 65536)
    floor (20370.5)     		ty = 20370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30825 / 20370 ti = "16/30825/20370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30825/20370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30825 ÷ 216
    30825 ÷ 65536     		x = 0.470352172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20370 ÷ 216
    20370 ÷ 65536     		y = 0.310821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470352172851562 × 2 - 1) × π
    -0.059295654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18628279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310821533203125 × 2 - 1) × π
    0.37835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18864336297891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18628279} λ = -0.18628279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18864336297891))-π/2
    2×atan(3.28262485483576)-π/2
    2×1.275093357309-π/2
    2.55018671461799-1.57079632675     		φ = 0.97939039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18628279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.673218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97939039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.114936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30825 KachelY 20370 -0.18628279 0.97939039 -10.673218 56.114936
    Oben rechts KachelX + 1 30826 KachelY 20370 -0.18618692 0.97939039 -10.667725 56.114936
    Unten links KachelX 30825 KachelY + 1 20371 -0.18628279 0.97933693 -10.673218 56.111873
    Unten rechts KachelX + 1 30826 KachelY + 1 20371 -0.18618692 0.97933693 -10.667725 56.111873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97939039-0.97933693) × R
    5.34600000000607e-05 × 6371000     		dl = 340.593660000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97939039-0.97933693) × R
    5.34600000000607e-05 × 6371000     		dr = 340.593660000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18628279--0.18618692) × cos(0.97939039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557528722735317 × 6371000     		do = 340.531725270445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18628279--0.18618692) × cos(0.97933693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557573102166547 × 6371000     		du = 340.55883168428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97939039)-sin(0.97933693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557528722735317-0.557573102166547)×R²
    abs(-0.18618692--0.18628279)×4.4379431230257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4379431230257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4379431230257e-05×40589641000000     		ar = 115987.562820076m²