Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30823 / 38269
↖ ↑ ↗
← S 28.907206°
W 10.684204°		 ← 534.69 m → S 28.907206°
W 10.678711°		 →
↑
534.72 m
↓
↑
534.72 m
↓
S 28.912015°
W 10.684204°		 ← 534.66 m →
285 900 m²		 S 28.912015°
W 10.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470329284667969 y=0.583946228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470329284667969 × 216)
    floor (0.470329284667969 × 65536)
    floor (30823.5)     		tx = 30823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583946228027344 × 216)
    floor (0.583946228027344 × 65536)
    floor (38269.5)     		ty = 38269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30823 / 38269 ti = "16/30823/38269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30823/38269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30823 ÷ 216
    30823 ÷ 65536     		x = 0.470321655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38269 ÷ 216
    38269 ÷ 65536     		y = 0.583938598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470321655273438 × 2 - 1) × π
    -0.059356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18647454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583938598632812 × 2 - 1) × π
    -0.167877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.527401769619858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18647454} λ = -0.18647454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527401769619858))-π/2
    2×atan(0.590136289491837)-π/2
    2×0.533135201611753-π/2
    1.06627040322351-1.57079632675     		φ = -0.50452592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18647454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.684204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50452592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.907206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30823 KachelY 38269 -0.18647454 -0.50452592 -10.684204 -28.907206
    Oben rechts KachelX + 1 30824 KachelY 38269 -0.18637867 -0.50452592 -10.678711 -28.907206
    Unten links KachelX 30823 KachelY + 1 38270 -0.18647454 -0.50460985 -10.684204 -28.912015
    Unten rechts KachelX + 1 30824 KachelY + 1 38270 -0.18637867 -0.50460985 -10.678711 -28.912015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50452592--0.50460985) × R
    8.39300000000653e-05 × 6371000     		dl = 534.718030000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50452592--0.50460985) × R
    8.39300000000653e-05 × 6371000     		dr = 534.718030000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18647454--0.18637867) × cos(-0.50452592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875403739500381 × 6371000     		do = 534.685897899087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18647454--0.18637867) × cos(-0.50460985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87536316528603 × 6371000     		du = 534.661115665184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50452592)-sin(-0.50460985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875403739500381-0.87536316528603)×R²
    abs(-0.18637867--0.18647454)×4.05742143513299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.05742143513299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.05742143513299e-05×40589641000000     		ar = 285899.564407953m²