Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30822 / 17286
↖ ↑ ↗
← N 64.458587°
W 10.689697°		 ← 263.35 m → N 64.458587°
W 10.684204°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
N 64.456218°
W 10.689697°		 ← 263.37 m →
69 363 m²		 N 64.456218°
W 10.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470314025878906 y=0.263771057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470314025878906 × 216)
    floor (0.470314025878906 × 65536)
    floor (30822.5)     		tx = 30822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263771057128906 × 216)
    floor (0.263771057128906 × 65536)
    floor (17286.5)     		ty = 17286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30822 / 17286 ti = "16/30822/17286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30822/17286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30822 ÷ 216
    30822 ÷ 65536     		x = 0.470306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17286 ÷ 216
    17286 ÷ 65536     		y = 0.263763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.05938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18657041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263763427734375 × 2 - 1) × π
    0.47247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48431815983542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18657041} λ = -0.18657041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48431815983542))-π/2
    2×atan(4.41195613807367)-π/2
    2×1.34790544881554-π/2
    2.69581089763109-1.57079632675     		φ = 1.12501457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18657041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12501457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.458587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30822 KachelY 17286 -0.18657041 1.12501457 -10.689697 64.458587
    Oben rechts KachelX + 1 30823 KachelY 17286 -0.18647454 1.12501457 -10.684204 64.458587
    Unten links KachelX 30822 KachelY + 1 17287 -0.18657041 1.12497323 -10.689697 64.456218
    Unten rechts KachelX + 1 30823 KachelY + 1 17287 -0.18647454 1.12497323 -10.684204 64.456218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12501457-1.12497323) × R
    4.13400000001118e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12501457-1.12497323) × R
    4.13400000001118e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18657041--0.18647454) × cos(1.12501457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431163370714054 × 6371000     		do = 263.349313704115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18657041--0.18647454) × cos(1.12497323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43120067034766 × 6371000     		du = 263.372095864146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12501457)-sin(1.12497323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431163370714054-0.43120067034766)×R²
    abs(-0.18647454--0.18657041)×3.72996336053255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72996336053255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72996336053255e-05×40589641000000     		ar = 69363.1892245952m²