Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3082 / 5007
↖ ↑ ↗
← S 37.125286°
W 44.560547°		 ← 3 896.09 m → S 37.125286°
W 44.516602°		 →
↑
3 895.17 m
↓
↑
3 895.17 m
↓
S 37.160316°
W 44.560547°		 ← 3 894.28 m →
15 172 393 m²		 S 37.160316°
W 44.516602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37628173828125 y=0.61126708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37628173828125 × 213)
    floor (0.37628173828125 × 8192)
    floor (3082.5)     		tx = 3082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61126708984375 × 213)
    floor (0.61126708984375 × 8192)
    floor (5007.5)     		ty = 5007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3082 / 5007 ti = "13/3082/5007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3082/5007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3082 ÷ 213
    3082 ÷ 8192     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5007 ÷ 213
    5007 ÷ 8192     		y = 0.6112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.222412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.698728248861939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.698728248861939))-π/2
    2×atan(0.497217238463298)-π/2
    2×0.461418922696328-π/2
    0.922837845392656-1.57079632675     		φ = -0.64795848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64795848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.125286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3082 KachelY 5007 -0.77772826 -0.64795848 -44.560547 -37.125286
    Oben rechts KachelX + 1 3083 KachelY 5007 -0.77696127 -0.64795848 -44.516602 -37.125286
    Unten links KachelX 3082 KachelY + 1 5008 -0.77772826 -0.64856987 -44.560547 -37.160316
    Unten rechts KachelX + 1 3083 KachelY + 1 5008 -0.77696127 -0.64856987 -44.516602 -37.160316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64795848--0.64856987) × R
    0.000611389999999989 × 6371000     		dl = 3895.16568999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64795848--0.64856987) × R
    0.000611389999999989 × 6371000     		dr = 3895.16568999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77696127) × cos(-0.64795848) × R
    0.000766989999999912 × 0.797317638881866 × 6371000     		do = 3896.08729239443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77696127) × cos(-0.64856987) × R
    0.000766989999999912 × 0.796948479384723 × 6371000     		du = 3894.2833969887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64795848)-sin(-0.64856987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.797317638881866-0.796948479384723)×R²
    abs(-0.77696127--0.77772826)×0.000369159497143112×R²
    0.000766989999999912×0.000369159497143112×6371000²
    0.000766989999999912×0.000369159497143112×40589641000000     		ar = 15172392.7834481m²