Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30819 / 17319
↖ ↑ ↗
← N 64.380316°
W 10.706176°		 ← 264.10 m → N 64.380316°
W 10.700684°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
N 64.377941°
W 10.706176°		 ← 264.12 m →
69 747 m²		 N 64.377941°
W 10.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470268249511719 y=0.264274597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470268249511719 × 216)
    floor (0.470268249511719 × 65536)
    floor (30819.5)     		tx = 30819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264274597167969 × 216)
    floor (0.264274597167969 × 65536)
    floor (17319.5)     		ty = 17319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30819 / 17319 ti = "16/30819/17319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30819/17319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30819 ÷ 216
    30819 ÷ 65536     		x = 0.470260620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17319 ÷ 216
    17319 ÷ 65536     		y = 0.264266967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470260620117188 × 2 - 1) × π
    -0.059478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18685803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264266967773438 × 2 - 1) × π
    0.471466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48115432446049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18685803} λ = -0.18685803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48115432446049))-π/2
    2×atan(4.39801949342142)-π/2
    2×1.34722240961268-π/2
    2.69444481922536-1.57079632675     		φ = 1.12364849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18685803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.706176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12364849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.380316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30819 KachelY 17319 -0.18685803 1.12364849 -10.706176 64.380316
    Oben rechts KachelX + 1 30820 KachelY 17319 -0.18676216 1.12364849 -10.700684 64.380316
    Unten links KachelX 30819 KachelY + 1 17320 -0.18685803 1.12360704 -10.706176 64.377941
    Unten rechts KachelX + 1 30820 KachelY + 1 17320 -0.18676216 1.12360704 -10.700684 64.377941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12364849-1.12360704) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dl = 264.077950000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12364849-1.12360704) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dr = 264.077950000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18685803--0.18676216) × cos(1.12364849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432395546314552 × 6371000     		do = 264.101911491391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18685803--0.18676216) × cos(1.12360704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432432920746171 × 6371000     		du = 264.124739337135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12364849)-sin(1.12360704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432395546314552-0.432432920746171)×R²
    abs(-0.18676216--0.18685803)×3.73744316190527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73744316190527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73744316190527e-05×40589641000000     		ar = 69746.5055531674m²